II. Th eil.

Functionen einer complexen Variabein.

§ 12. Algebraische Functionen einer complexen Variabein.

1. Durch Vereinigung einer realen Zahl a mit einer imaginären bi entstehtdie complexe Zahl a -+- bi.

Alle zu dem realen Bestandtheile a gehörigen complexen Zahlen werdenerhalten, wenn b die reale Zahlenreihe von — oo bis -t- °o durchläuft; hierausentstehen weiter alle complexen Zahlen überhaupt, wenn a die ganze realeZahlenreihe durchläuft. Bezeichnet oo die Menge der realen Zahlen, so ist dieder complexen oo 2 . Zur geometrischen Darstellung bedürfen daher die complexenZahlen eines Gebietes zweier Dimensionen, einer Fläche. Wählt man hierzu dieEbene, so hat man sich zunächst darüber schlüssig zu machen, wie die positiveund negative imaginäre Einheit darzustellen sind, und wie man den geometrischenBegriff der Summe*) auf die Summe einer realen und imaginären Zahl auszu-dehnen hat.

Die imaginäre Einheit i wird man als eine Strecke darstellen von derselbenI.änge, wie die reale Einheit, nur von anderer Richtung. Beachtet man nun, dass1 . z = z, i • i — — 1 , dass also die negative reale Einheit aus der positivenimaginären durch dieselbe arithmetische Operation hervorgeht, wie die positiveimaginäre aus der positiven realen, und dass bei einer geschickt gewählten geo-metrischen Darstellung gleichen arithmetischen Operationen auch in bestimmterHinsicht gleiche geometrische entsprechen müssen, so entsteht nun die Forderung,die Richtung der imaginären Einheit so zu wählen, dass der Winkel zwischen 1und -t- i gleich dem Winkel zwischen i und — 1 ist, also so, dass sie mitder positiven realen Einheit einen rechten Winkel bildet.

Die positive imaginäre Zahl bi wird durch die Strecke OQ dargestellt, dieder Strecke b gleich und mit der imaginären Einheit OJ gleichgerichtet ist; fernerdie negative imaginäre Zahl •— bi durch eine Strecke, die der Strecke bi ent-gegengesetzt gleich ist. Die Gerade OX (Fig. 536) wird als die reale, OY alsdie imaginäre Achse bezeichnet.

2. Den geometrischen Begriff der Summe dehnen wir auf reale undimaginäre Summanden aus, und bezeichnen mit der Summe a -t- bi die StreckeOB, welche erhalten wird, wenn man OA gleich und gleichgerichtet mit a, und

*) Um zwei (reale) Zahlen zu addiren, die durch die vom Nullpunkte O ausgehenden (aufder realen Achse enthaltenen) Strecken OA und OB dargestellt sind, construire man die StreckeAC, welche der Richtung und Länge nach mit OB übereinstimmt; alsdann ist

OA + OB = OC.

Diese Definition umfasst zunächst die Addition realer positiver und negativer Zahlen. Lässtman die eingeklammerten Beschränkungen weg, so wird sie für das ganze complexe Zahlengebietverwendbar.