§ 8. Der Kreis. 65

Aus diesen vier Werthen erhält man das Doppelverhältniss der vier Punkte

(A ^ ?3 F) = Pips-es ist daher gleich dem Doppelverhältniss der vier Paare der Involution:

P 2 P, P) = {M, M s M 3 M).

Wir übertragen diese Bemerkungen sogleich auf Strahleninvolutionenund haben daher den Satz: Haben zwei Paare einer quadratischenInvolution ein Element gemein, so gehört dieses Element allenPaaren der Involution an; die Reihe der übrigen Elemente ist mitder Involution projectiv.

§ 8. Der Kreis.

1. Hat das Centrum M eines Kreises die Coordinaten a und b und ist pder Radius des Kreises, so gilt für jeden Punkt P des Kreises die Gleichung

MP 2 = p 2 ,

das ist (x — ä ) 2 + (y — b ) 2 = p 2 , oder entwickelt und geordnet:

1. x 2 -h y 2 — 2ax — 2 by -+- a 2 -h b 2 — p 2Dies ist die Gleichung des Kreises.

Giebt man dem Centrum besondere Lagen gegen

die Coordinatenachsen, so gehen aus der allgemeinenGleichung des Kreises besondere Modificationen derselbenhervor.

Liegt das Centrum im Nullpunkte, so ist a — b= 0; die Gleichung des Kreises lautet daher

2. x 2 -hy 2 — p 2 = 0.

Liegt das Centrum auf der X-Achse, so ist

b — 0, und die Gleichung ändert sich ab zu:

3. x 2 -h y 2 — 2ax-ha 2 — p 2 = 0.

ir p’

(M. 385.)

Liegt das Centrum auf der E-Achse, so erhält man4. x 2 -hy 2 — 2 by-hb 2 — p 2 = 0.

Geht der Kreis durch den Nullpunkt, so hat das rechtwinklige Drei-eck O M' M die Hypotenuse p, daher ist

a 2 -h b 2 = p 2 ,

also erhält man die Gleichung:

5. x 2 -hy 2 — 2 ax — 2by — 0.

Berührt der Kreis die F-Achse im Nullpunkte, so vereinen sich die Fälle3. und 5. und man hat die Gleichung:

G. x 2 -hy 2 — 2ax = 0, oder y = yb2ax — x 2 .

Berührt der Kreis die X-Achse im Nullpunkte, so hat man:

7. x 2 -h y 2 — 2^ = 0.

2. Die Gleichung des Kreises

1. x 2 -hy 2 — 2 ax — 2by -+- a 2 + b 2 — p 2 = 0

ist eine Gleichung zweiten Grades. Sie zeigt gegenüber einer allgemeinen

Gleichung zweiten Grades in den Coordinaten x und y

Ax 2 -+- 2 Bxy -h Cy 2 -h 2Dx -+- 2 Ey -h F = 0die Besonderheiten, dass das Glied mit dem Coordinatenfaktor xy fehlt, unddass ferner die Glieder x 2 und y 2 den Coefficienten 1 haben.

Liegt umgekehrt eine Gleichung zweiten Grades vor2- mx 2 -+- my 2 + 2 nx -h 2 py -+• q — 0,

Schi.oemtt.Ch, Handbuch der Mathematik. T?d. TI

5