§ 14. Kegelschnittbüschel und Kegelschnittschaar. 163

wollen wir als ein System mit zwei Trägern, oder kürzer als ein zwei-punktiges System (von Kegelschnitten) bezeichnen.

Die Kreise einer Ebene haben die beiden imaginären Kreispunkte gemein,bilden also einen besonderen Fall eines zweipunktigen Systems.

Die Gerade, welche die realen oder conjugirt complexen Grundpunkte ent-hält, heisse die Achse des Systems. Je zwei Kegelschnitte des Systems habenausser der Achse noch eine gemeinsame Secante; sie mag die zweite Secanteder beiden Kegelschnitte heissen.

Wählt man die Träger zu Ecken A 2 und A 3 des Coordinatendreiecks, sogenügen die Coordinaten x x = x 2 = 0, und x 1 = x 3 = 0 der Gleichungjedes Systemkegelschnitts; also ist die allgemeine Form der Gleichung

1. a n x i + 2a 12 XjX 2 4- 2a x3 x x x 3 4 - 2a 23 x 2 x 3 = 0.

Soll der Kegelschnitt nicht in die Achse und eine weitere Gerade degeneriren,so muss a 23 von Null verschieden sein, und man kann der Gleichung dieForm geben

2. K a x x^ 4 - a 2 x x x 2 4 - a 3 x x x 3 4 - x 2 x 3 = 0.

Ein zweiter Kegelschnitt des Systems habe die Gleichung

3. K' = .b x x^ 4 - b 2 x x x 2 4 - b 3 x x x 3 4 - x 2 x 3 = 0.

Hieraus folgt

4. K— K x = x x [{a x — b x )x x 4- (a 2 —b 2 )x 2 4 - {a 3 — ^ 3 )« 3 ] = 0.Hieraus schliessen wir, dass

5. Z 3 = ( a x — b x ) x x 4 - (a 2 — b 2 ) x 2 4- ( a 3 — b 3 ) x 3 = 0die Gleichung der zweiten Secante von K und K x ist.

Die zweiten gemeinsamen Secanten der drei Paare Kegelschnitte des SystemsK x K 2 , K 2 K v K 3 K, seien S 3 , S 2 ; dann ist

X X Q X ^ K 2 ^ -^3 "^1^3 ^ -^1 Wg.

Hieraus folgt die Identität ü 1 4-i i 2 4-§ 3 =0. Dies ergiebt den Satz: Diedrei zweiten Secanten dreier Kegelschnitte eines zweipunktigenSystems schneiden sich in einem Punkte.

16. Ein Kegelschnitt K des durch zwei Kegelschnitte K x K 2 des Systemsbestimmten Büschels hat die Gleichung K sss X x K x 4 - \ 2 K 2 = 0, wobei wirohne Beschränkung 4 - X 2 = 1 voraussetzen können.

Die Gleichung irgend eines andern Systemkegelschnitts sei K' =0; für dieGleichung der zweiten Secante L' von K und K' ist alsdann

x x L' K — K' = 0.

Nun ist K is= \ X K X 4- 'k 2 K 2 ', da X t 4 - X 2 = 1, so kann man für K'schreiben (Xj 4- X 2 )AT'; hierdurch erhält man

x x L' = Xj (K x — K 1 ) 4 - X 2 {K 2 — K').

Sind L x — 0 und L 2 — 0 die zweiten Secanten von K X K' und K 2 K',so ist daher

L = \ X L X 4~ X 9 L 2 .

Hieraus folgt, dass der Schnittpunkt der Geraden L x und Z 2 auch auf Z'liegt. Da nun der Schnittpunkt von L x und Z 2 nach No. 14 auf der zweitenSecante des durch die Kegelschnitte K x und K 2 bestimmten Büschels (d. i. aufder zweiten Secante von K x und K 2 ) liegt, so haben wir den Satz: EinBüschel in einem zweipunktigen Kegelschnittsysteme wird von einemandern Systemkegelschnitte K' so geschnitten, dass die zweitenSecanten von K' und den Kegelschnitten des Büschels sich in einemPunkte der zweiten Secante des Büschels treffen.

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