§ 15- Curven dritter Ordnung. Construction derselben aus neun gegebenen Punkten. 17 1

C'" zehn Punkte gemein hat, nämlich ABCD5 6 7 8 EB 0 , so ist / mit C'"identisch.

Irgend ein Kegelschnitt des Büschels ABCD hat die Gleichung3. K = X 1 K 1 + X 2 AT 2 = 0.

Um die Schnittpunkte dieses Kegelschnitts mit f zu erhalten, ersetzen wirgemäss der Gleichung 3. in der Gleichung 1 . die Grösse K 2 durch — XjÄj '• f 2und erhalten

5- ( \ 2 a x T 2 X 1 a 2 T 1 )K 1 = 0.

Die Schnittpunkte von K und f befriedigen also theils K 7 = 0, theils dielineare Gleichung

6- T sss X 2 a^T 2 — X 7 a 2 T^ = 0;

die ersteren sind die vier Träger des Kegelschnittbüschels', die letztere Gleichung,welche von den beiden übrigen Schnittpunkten der Curven K und f erfüllt wird,ist die Gleichung eines Strahles des Strahlbüschels T 2 T X , dessen Träger E ist.Aus den Gleichungen 3. und 6 . ergiebt sich sofort:

Ein Kegelschnittbüschel, dessen Träger auf einer Curve III. O.liegen, und das Büschel der Strahlen, welche die beiden übrigenSchnittpunkte jedes Büschelkegelschnitts und der Curve III. O. ent-halten, sind projectiv.

Jede Curve III. O. kann also auf unendlich vielfache Weise alsOrt der Schnittpunkte eines Kegelschnittbüschels und eines projec-tiven Strahlbüschels angesehen werden. Man kann dabei die Trägerdes Kegelschnittbüschels ABCD beliebig auf der Curve auswählen;der Träger E des Strahlbüschels ist durch ABCD eindeutig bestimmt.Der Punkt E heisst der den vier Punkten ABCD gegenüberliegende Punkt.9. Im vorigen Abschnitte ist gezeigt worden, wie man bei einem Strahl-büschel und dazu projectiven Kegelschnittbüschel zu jedem Strahle T den zuge-hörigen Kegelschnitt K construirt; und früher wurde gezeigt, wie man die Schnitt-punkte eines Strahles mit einem Kegelschnitte findet.

Die Aufgabe, eine Curve dritter Ordnung aus neun gegebenenPunkten zu construiren, ist daher gelöst, sobald man im Stande ist, ausneun gegebenen Punkten einer Curve dritter Ordnung zu vieren der-selben den gegenüberliegenden Punkt zu construiren.

Sind ABCD 5 6 7 8 9 die gegebenen Punkte, und nimmt man wieder ABCDzu Trägern des Kegelschnittbüschels, so kommt es darauf an, zu den fünf Kegel-schnitten K b Ä ” 6 K 7 K h K 9 des Büschels, die der Reihe nach durch die Punkte 5, 6 ,7, 8 , 9 gehen, einen Punkt E zu construiren, so dass die Strahlen T b T b T 1 T i T 2 ,die durch E und der Reihe nach durch 5, 6 , 7, 8 , 9 gehen, mit den KegelschnittenK b K b K 7 K b K 2 projectiv sind. Dies ist erreicht, wenn die beiden Doppelverhältniss-gleichheiten bestehen.

1. (T- d T 6 T 7 T s ) = (W 5 W 6 W 7 W 8 ) und

2 . (TiT'TjT,) = (K,K,K 7 K,) :

Das Doppelverhältniss von vier Kegelschnitten eines Büschels ist dem Doppel-verhältniss der Tangenten gleich, welche die Kegelschnitte in einem Trägerdes Büschels berühren. Wir sehen uns daher durch die Forderungen 1. und 2.zunächst vor die Aufgabe gestellt: Den Ort der Punkte zu construiren,von denen aus vier gegebene Punkte a, ß, 7 , 8 durch Strahlen pro-jicirt werden, die das Doppelverhältniss von vier gegebenen Strahlenhaben.