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Analytische Geometrie.

paaren DB, AC und DC, AB aus, so bestimmt man dadurch zugleich die pro-jective Beziehung des Strahlbüschels G und des Kegelschnittbüschels ABCD.

Ist nun eine Curve dritter Ordnung F"' durch die Punkte A, B, C, D undfünf weitere Punkte bestimmt, und soll man den Kegelschnitt construiren, derdie fünf übrigen Schnittpunkte von C" und F m enthält, so bestimme man denPunkt H, der ABCD in F'" gegenüberliegt, sowie die Strahlen des Büschels 77,die den drei Geradenpaaren des Büschels ABCD entsprechen; dadurch ist dieprojective Beziehung der Strahlbüschel G und H bestimmt, und mithin der vonihnen erzeugte, gesuchte Kegelschnitt gefunden.

Dieser Kegelschnitt enthält die drei fehlenden Schnittpunkte von r m und K,sowie die beiden fehlenden von F m und 71

Hierdurch ist die zweite der gestellten beiden Aufgaben gelöst, und dieerste ist auf das Fundamentalproblem cubischer Aufgaben zurückgeführt: EinSchnittpunkt zweier Kegelschnitte (G) ist gegeben, man soll die dreiandern finden.

14. Zwei Strahlenpaare, welche einen gemeinsamen Träger haben, sindAusartungen von Curven zweiter Ordnung, und können ebenso, wie zwei eigent-liche Kegelschnitte, zur Erzeugung eines Kegelschnittbüschels dienen.

Sind T und T' die Strahlen des einen Paares, so sind die Gleichungen derStrahlen des andern Paares von der Form a T 4- a' T' = 0, 7 7' 4- b' T' = 0,

mithin sind die Gleichungen der beiden Paare

1. TT' = 0 und (aT+ a' T') ( bT + bV) = 0.

Die Gleichung irgend eines Kegelschnitts des von den beiden Paaren be-stimmten Kegelschnittbüschels ist

2. K = \ X TT + X 2 (aT+ a! T') (bT 4- b'T') = 0.

Löst man die Klammern auf und ordnet, so erhält man

K = k 2 ab ■ T 2 4- (Xj -|- k i a'b 4- l 2 ab’) TT' 4- k 2 a'b' • T' 2 = 0.

Die Function K ist eine homogene quadratische Function der Grössen Tund T', und kann daher in zwei in Bezug auf T, T' homogene lineare Faktorenzerlegt werden, die sich durch Auflösung der quadratischen Gleichung

/ T\ 2 T

3. \ 2 ab lyv) T- (k x 4~ k 2 a'b 4- X 2 #7 f ) 4- k 2 a'b' = 0

in Bezug auf die Unbekannte T: T ergeben; findet man aus 3. die Wurzeln aund ß, so zerfällt K, abgesehen von einem constanten Faktor, in das Produktder linearen Functionen T — a T und T — ß7”, also zerfällt der Kegelschnitt

K = 0 in die beiden Geraden T — a T' = 0 und T — ß T' = 0.

Das Kegelschnittbüschel besteht daher aus lauter Geradenpaaren. Da nundiese Geradenpaare eine Transversale in einer quadratischen Punktinvolutionschneiden, so folgt, dass dieselben die Strahlenpaare einer quadratischen Strahlen-involution bilden. Wir finden daher: Die Strahlenpaare einer quadratischenInvolution sind als die Kegelschnitte eines ausgearteten Kegelschnitt-büschels zu betrachten.

Eine Strahleninvolution und ein projectives Strahlenbüschel erzeugen eineCurve III. O. C"’ von besonderer Art; jede durch den Träger D der Involution

gehende Gerade T hat nämlich mit C'" ausser D nur noch einen Punkt

gemein, nämlich den Schnitt von T mit dem Strahl des projectiven Büschels,welches dem Strahlenpaare der Involution entspricht, zu welchem T gehört.Bei allen durch D gehenden Geraden fallen daher zwei Schnittpunkte derselbenmit der Curve C’" in D zusammen; folglich hat C’" in D einen Doppelpunkt.