176

Analytische Geometrie.

sprechenden Punktpaares zusammenfallen. Unsere Aufgabe ist daher auf diefolgende reducirt: Auf einer Geraden T liegen eine quadratischePunktinvolution und eine dazu projective Punktreihe; man soll diePunkte X der Reihe finden, die mit einem Punkte des entsprechendenPaares zusammenfallen.

Wir projiciren von einem willkürlich gewählten Punkte A aus die Punkt-involution und die Punktreihe und erhalten so in A eine Strahleninvolution Jund ein dazu projectives Strahlbüschel S; die Strahlen des Büschels, welchenach einem der gesuchten Punkte X gehen, fallen mit einem Strahle des ent-sprechenden Paares der Strahleninvolution zusammen. Legen wir einen Kreis Kdurch A, und verbinden die Punkte, in welchem der Kreis von jedem Strahlen-paare der Involution getroffen wird, so bilden diese Verbindungsgeraden einStrahlbüschel 2, welches mit der Involution J projectiv ist. Die projectivenBüschel S und 2 erzeugen einen Kegelschnitt C, der durch den Träger A desBüschels geht, und daher den Kreis K in drei weiteren Punkten Y x , Y 2 , Y 3schneidet. Der Strahl des Büschels S und das Paar der Involution J, auf deneneiner dieser Punkte Y liegt, entsprechen dem durch Y gehenden Strahle desprojectiven Büschels 2, sind also einander entsprechend. Die gesuchten Punkteder Geraden T sind daher die Punkte, in denen T von den Strahlen AY 1 , AY 2 ,A Y 3 geschnitten wird.

17. Hat man ein Kegelschnittbüschel und das dazu projective Strahlbüschelbestimmt, durch welches eine Curve III. O. erzeugt wird, und rückt ein Strahl Tdes Strahlbüschels unendlich nahe an einen Träger A des Kegelschnittbüschelsheran, so hat der entsprechende Kegelschnitt K des Büschels mit C'" in Azwei unendlich nahe benachbarte Punkte gemein; mithin haben C"' und K in Aeine gemeinsame Tangente. Die Tangente, die eine Curve dritter Ordnungin einem gegebenen Punkte A derselben berührt, wird daher in folgenderWeise gefunden. Man construire den Punkt E der C'", der dem Punkte A unddrei weiteren Punkten der C" gegenüberliegt, ziehe EA und construire in A dieTangente des Kegelschnitts, der diesem Strahle entspricht.

§ 16. Tangente und Polaren eines Punktes in Bezug auf eine Curve

dritter Ordnung.

1. Wir verbinden zwei Punkte iß und II und bestimmen die Verhältnisse, inwelchen die Strecke iß II von den Schnittpunkten der Geraden iß II und der Curvedritter Ordnung geschnitten wird:

1. /es 2 a-ikiXiXkXi — 0; i, k, l = 1, 2, 3.

Zu diesem Zwecke setzen wir in 1

x % —

^2 Ex

^•1 -+- ^9

x = 1, 2, 3

und erhalten für das gesuchte Theilverhältniss p = X 2 : die Gleichung:

/M + 3 [AM • Ei t-AM ■ E 2 +/ 3 M • E s ] • h-2- +3[A 1 M-E 1 2 +2A 1 M-E 1 E2+2A 3 M-EiE 3 +/ 2 2M-E2 2 +2/23«-E2E3-!-A3to-E3 2 ]-p !!+ /($).p3 =0 .

Hierin bedeuten E(%) und V(E) die Werthe, welche eine Function F erhält,wenn man die x % durch die jc x bez. ; x ersetzt; ferner bedeuten

f j - & j j j X ^ | 2 d x j 2 X ^X 2 |— 2lZj j 3 X X X 3 I 2 2 *3- 2 ^ 2^q 2 33-23-3 I 3 3 3^ ü* ^ J ik^i^hy

3 •/ 2^#1 1 2*3- 2 "P2«1 2 2 X±X 2 ~{-2(1 l2 3‘ X l' X '3~^~ a 2 2 2^2 2^2 2 3 X 2 X 3~Y a 2 3 3*3-3 =^ i a i2k X i X k>

/3^ a ii3 x i-+-^ a i2 3 x i x 2-^ i2a i33XiX 3 -Ya 223 x^-h2a 233 x 2 x 3 -ha 3S3 xl=2a li3 x,xY,