§ i 6 . Tangente und Polaren eines Punktes in Bezug auf eine Curve dritter Ordnung. 183

Der Ort der harmonischen Pole ersten Grades, die zu einemPunkte p in Bezug auf die Schnittpunkte der durch P gehendenStrahlen mit der cubischen Curve / = 0 gehören, ist somit die Ge-rade 9 " = 0.

Diese Gerade heisst die zweite oder die gerade Polare des Punktes Pin Bezug auf die Curve f — 0.

Nach dem letzten Satze der vorigen Nummer ist die gerade Polareeines Punktes in Bezug auf eine Curve dritter Ordnung zugleichdie Polare dieses Punktes in Bezug auf die erste Polare desselbenPunktes.

10. Legt man von p eine Tangente an f, und ist A der Berührungspunktund A l sein Begleiter, so fällt einer der harmonischen Pole zweiten Gradesvon p in Bezug auf den doppelt zu zählenden Punkt A und den Punkt A l mitA zusammen; die erste Polare von 5p geht also durch A. Und umgekehrt: Ver-bindet man einen nicht auf f gelegenen Punkt 5p mit einem Schnittpunkte A zder Curve / und der ersten Polaren 9' des Punktes p, so fällt in A 3 einer derSchnittpunkte von ?ßA 3 und f mit einem harmonischen Pole zweiten Gradesvon P in Bezug auf diese drei Schnittpunkte zusammen; wenn nun die Gleichung

d l (x — d 2 ) (# — d 3 ) -+- d 2 (x — d 3 ) (x — d x ) - d 3 (x — d t ) (x — d 2 ) = 0,welche die harmonischen Pole zweiten Grades liefert, eine Wurzel x — d 3 ent-hält, so folgt d z (d 3 — d x )(d z — d 2 ) = 0. Da nun nach der Voraussetzung pnicht auf / liegt, so ist d 3 ^ 0, folglich ist entweder d :i = d lt oder d z = d 2>es fallen also zwei Schnittpunkte der Geraden tyA z und der Curve / in A 3zusammen, die Curve / wird von tyA z in A z berührt.

Wir haben daher den Satz: Die Tangenten, die von einem Punkteausserhalb einer Curve III. O. an die Curve gelegt werden, berührendieselbe in den Schnittpunkten mit den ersten Polaren des Punktes.Von jedem Punkte der Eirene aus, der nicht auf der Curve liegt, lassensich daher im Allgemeinen sechs Tangenten an eine Curve III. O. legen.

Eine Ausnahme hiervon tritt ein, wenn die Curve / einen Doppelpunkt oderRückkehrpunkt hat. Für jeden Punkt p der Ebene geht die erste Polare durchden Doppelpunkt; da nun in dem Doppelpunkte zwei Schnittpunkte von / und<f' zusammenfallen, so bleiben vier weitere Schnittpunkte von f und 9’ übrig.Hat also eine Curve III. O. einen Doppelpunkt, so lassen sich vonjedem Punkte, der nicht auf der Curve liegt, nur vier Tangenten andie Curve legen.

Hat die Curve III. O. einen Rückkehrpunkt, und wählt man dasselbeCoordinatensystem wie in No. 6, 2, so ergiebt sich für die erste Polare einesPunktes p die Gleichung

tp' s 2a 1 22 £2 ■ x l x 2 ( a 12 2?t a 222?2 “P®2 23^3 ) ‘ x 2 “P ^ a 2 2 3^2 X 2 X 3

-+-a 3 3 3 r z - x i = 0 .

Setzt man hierin x 2 = 0, so folgt x 3 = 0; hieraus ersieht man, dass 9 1die Rückkehrtangente A l A 3 im Rückkehrpunkte A l berührt.

Hat also eine Curve III. O. einen Rückkehrpunkt, so geht dieerste Polare jedes Punktes der Ebene durch denselben und berührtdie Rückkehrtangente.

Ferner ergiebt sich die Identität %x 2 <p' — 2y 2 /

— (3 r* 12 2 1 A- a 2 22 ^2 3^223^3) x i ~P 3 3 ? 3 x 2 x i 2 ß 3 33 £2 #3 = 0 .

Für die Punkte, für welche die rechte Seite und f verschwindet, ist auch