§ l6. Tangente und Polaren eines Punktes in Bezug auf eine Curve dritter Ordnung. 185

bilden ein mit dieser Punktreihe projectives Kegelschnittbüschel,dessen Träger die Pole der Geraden sind.

13. Besteht eine Curve III. O. aus drei Geraden, die nicht durchdenselben Punkt gehen, und nimmt man die Geraden zu Coordinatenachsen,so ist die Gleichung des Vereins dieser drei Geraden / = &x 1 x 2 x 3 — 0, wobeider Faktor 6 hinzugefügt worden ist, um Uebereinstimmung mit der allgemeinenForm der cubischen Gleichung zu haben. Für diese Function f istf = 2x 2 x 3 , f = 2x-^x 3 , f 3 = 2x^x 2 ,

/11 = 0 , /u = r 3 , /1 3 = x 2 < f i 2 = 0 , /» = *1- 3 = 0 •

Die Gleichungen der ersten Polaren und der geraden Polareneines Punktes iß in Bezug auf die aus den Seiten des Achsendreiecksbestehende cubische Curve sind daher

1

■P s • •

tp =

*2 ' x 3 x i d= 0 .

0 ,

2 * 1 * 2*3 1 *1 *2 *3

Beide Polaren lassen sich leicht construiren. Setzt man in cp" die Coor-dinate x x = 0 , so erhält man

/*2

*3

= 0 .

Dies ist die Gleichung einer durch A 1 gehenden Geraden; mithin dieGleichung der Geraden, die A 1 mit dem Punkte verbindet, in welchem cp" dieDreieckseite A 2 A 3 schneidet.

Ebenso erhält man, dass die Strahlen, die A 2 und A 3 mit den Schnitt-punkten der Polaren cp" und der gegenüberliegenden Seite des Coordinaten-dreiecks verbinden, die Gleichungen haben

T. ^

*i

Xg

*3

0 ,

T, -

*1 *2

= 0 .

Den Achsen x 2 = 0, x 3 = 0 und der Geraden T x ist die Gerade A^harmonisch zugeordnet; denn die Gleichung von A^ ist

x ± _x A

*2 *3

= o;

ebenso ist A 2 $ß der vierte harmonische Strahl zu x 1 =0,

= 0 und 7’ 2 ,

sowie _4 3 iß harmonisch zu x t = 0, x 2 = 0 und T 3 .

Um daher die gerade Polare eines Punktes iß in Bezug auf ein DreieckA t A 2 A 3 zu construiren, verbindet man iß mit A x und A 2 , construirt zu A 1 A 2 ,A X A 3 , A^ den vierten harmonischen Strahl T x , sowie zu A 2 A lt A 2 A 3 , A 2 ißden vierten harmonischen T 2 und verbindet die Punkte, in denen A 2 A 3 undA 1 A 3 von T x und T 2 geschnitten werden; diese Gerade ist die gesuchte Polare.

Die erste Polare cp' geht durch die Ecken des Coordinatendreiecks. DieGleichung der Tangente an cp' im Punkte II ist

(*2 ‘ ^3 ■+" *3 ’ ^ 2 ) X 1 (*3 ‘ Üj + *1 ' £ 3 ) x 2 + (*l - ^2 "+• *2 - ^l) *3 =

Die Gleichungen der Tangenten, welche in A t , A 2 , A 3 berühren, sind daher

* 3^2

T% x 3 — 0 } *i^'3 “F * 3^1 — 0, *2 , ^ : i

Xl x 2

o;

dies sind aber der Reihe nach die Geraden T 2 , T 3 . Die erste Polareeines Punktes iß in Bezug auf das Dreieck A X A 2 A 3 wird also erhalten, indemman T l und construirt, und den Kegelschnitt zeichnet, der durch A 1 A 2 A 3geht und T x und 7\ berührt.

14. Diese Constructionen lehren zugleich, wie man für einen Punkt ißin Bezug auf drei mit iß auf einer Geraden T gelegene Punkt ABC die