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Analytische Geometrie.

Gleichung «ten Grades, die nur die Unbekannte x^ enthält. Zu jeder der«Wurzeln dieser Gleichung erhält man aus der zweiten und dritten Gleichungdie zugehörigen Werthe von x 2 und x Dies ergiebt: Eine Curve «terOrdnung wird von einer Geraden in «Punkten geschnitten.

3. Jede durch den Träger A der ersten Involution (No. 1) gehende GeradeT gehört zu einem bestimmten Strahlenpaare TT' dieser Involution; die Punkte,in welchen dieses Paar die Curve / — 0 schneidet, liegen auf dem entsprechendenStrahlenpaare 5 S'. Also hat die Gerade T ausser dem. Punkte A noch zweiPunkte mit der Curve gemein. Wir schliessen hieraus, dass jede durch A gehendeGerade im Punkte A zwei zusammenfallende Schnittpunkte mit der Curve f — 0hat, dass also A ein Doppelpunkt der Curve ist. Durch zwei projectiveStrahlen'involutionen wird eine Curve vierter Ordnung erzeugt, welchedie Träger der beiden Involutionen zu Doppelpunkten hat.

4. Wenn die Strahlenpaare zweier Involutionen sich entsprechen, zu welchender die Träger verbindende Strahl gehört, so sagt man, die Involutionenbefinden sich in reducirter Lage. Ist R der durch die Träger gehendeStrahl, und entsprechen sich die Paare RT X ' und RS^, so kann man in No. 1die Paare RT^ und RS^ statt der Paare T 1 T 1 ' und S l S 1 ' nehmen. In derGleichung f — 0 tritt dann der Faktor R auf, indem man hat

f^R(a l b 2 T 1 ' ■ S 2 S 2 ' — a 2 b x T 2 T 2 •

Die Curve vierter Ordnung f zerfällt also in die Gerade R = 0 und in dieCurve III. O.

<f e= a 1 b 2 T 1 'S 2 S 2 ' — a 2 b X T 2 T 2 S = 0.

Der Gleichung <p = 0 wird genügt, wenn 7’,' = 0 und T 2 = 0, sowie wennS 2 = 0 und N,' = 0, also geht die Curve cp durch die Träger der beidenInvolutionen. Jede durch einen der beiden Träger gehende Gerade hat ausserdem Träger noch zwei, im Ganzen also drei im Allgemeinen von einander ge-trennte Punkte mit der Curve <p gemein. Wir schliessen daher: Zwei pro-jective Strahleninvolutionen in reducirter Lage erzeugen eine CurveIII. O., welche die Träger der Involutionen zu einfachen Punkten hat.

5. Die Gerade R kann als die durch A gehende Gerade aufgefasst werden,die unendlich nahe am Träger B der andern Involution vorbeigeht. Sie schneidetdaher den Strahl 5,', der zu dem RT^ entsprechenden Paare gehört, in einemunendlich nahe bei B liegenden Punkte. Da dieser Punkt, als ein Durchschnitts-punkt der Paare RT X ' und RS X ', auf cp liegt, so folgt, dass die Gerade dieCurve cp im Punkte B berührt. Ebenso folgt, dass cp von 7’,' in A berührt wird.Die beiden Strahlen 7\' und 5/ schneiden sich auf der Curve cp; dies ergiebt:Die Träger zweier projectiven Involutionen in reducirter Lage habenauf der von den Iuvolutionen erzeugten Curve III. O. denselben Be-gleiter.

Zwei Punkte einer Curve III. O., die denselben Begleiter haben, werden alscorrespondirende Punkte der Curve bezeichnet. Von einem Punkte P einerCurve III. O., die keinen Doppel- oder Rückkehrpunkt besitzt, lassen sich (ausserder Tangente in P) vier Tangenten an die Curve legen; zu jedem Curven-punkte giebt es daher drei correspondirende Punkte.

Vier Curvenpunkte, die denselben Begleiter haben, die also zu je zweien corre-spondirend sind, heissen das dem Begleiter zugehörige Punktquadrupel.

6. Die Frage, ob je zwei correspondirende Punkte eine Curve III. O. alsTräger zweier projectiven Involutionen in reducirter Lage auftreten, durch welche