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Analytische Geometrie.

ein Schnittpunktsystem dreier Flächen II. O. bilden, ist ein Büschel von FlächenII. O. bestimmt.

Sind f = 0 und F = 0 quadratische Functionen in Ebenencoordinaten

3.

/ == qjKj» -t- 2*q 2 u jt

F ss d xl u j 2 -+- 2<f i2 « 1 « 2 4- ■ ■ • -I- <f 44 i

so versteht man unter einer Schaar von Flächen II. Kl. die Gesammtheitaller der Flächen, deren Gleichungen unter der Form enthalten sind4. - 2 'bif “h X 2 ^ = 0*

Jede Fläche der Schaar wird von allen gemeinsamen (realen oder imaginären)Tangentenebenen der Flächen f= 0 und F — 0 berührt. Alle Flächen II. Kl.,die der abwickelbaren Fläche der den Flächen /= 0 und F = 0 gemeinsamenTangentenebenen eingeschrieben sind, bilden eine Schaar; denn die Gleichungjeder solchen Fläche ist nach § 10, No. 7 von der Form 4.

Wir wählen ein Polartetraeder von F = 0 als Coordinatentetraeder, so dassalso die Gleichungen dieser Fläche sind

in Punktcoordinaten: b^x^

in Ebenencoordinaten: d x

'3 "3

^4 X l :« 4 2

Soll nun <p = 0 ein Kegel sein, so müssen A x und X,dass die Gleichung erfüllt wird (No. 6)

5.

so gewählt werden,

Xi^j ^ -4- X

2 ^1 ^l ß 12

Xi «i j

Xi «14

Xi a 12

Xi ® 2 2 -f- X 2 ^ 2

Xj « 2 2

Xi« 2 4

X1^13

Xj a 23

^1^33 ~+- X 2 ^ 3

Xi « 34

Ml4

Xj «2 4

Xl «34

Xi«44 T- X 2 ^4

Dividirt man

jede Zeile dieser

Determinante

durch Xi und

= 0.

6 .

A x durch (—X), so erhält man die Determinante C in No. 21.

Die Kegelspitzen sind die Lösungen des Systems

?l' = 0. <jP2 , = 0 > ?3 ,=0 < <P4'=°>

wenn man für X, und X 2 Werthe eingeführt hat, die der Gleichung 5. genügen.Stellt man diese Gleichungen auf und ersetzt X 2 : X x durch (— X), so werdendieselben mit dem System No. 21, 3 identisch. Die Ecken des zwei FlächenII. O. gemeinsamen Polartetraeders sind zugleich die Spitzen derKegel, welche in dem durch die beiden Flächen bestimmten Büschelenthalten sind.

Soll die Fläche tp der durch f und F bestimmten Schaar eine Grenzflächesein, so muss die Gleichung erfüllt sein (No. 6)

^l f ll + ^2^1 ^-1^12 ^i^is

' ' ' 1 " V 23

X 1 c 3S H

7.

^ 1/12

^■ 1*13

^ 1 / 1,4

X t ^22

X 2 ^2

X 4 C %

X 2 ^ 3

X x C 14

^1^24

^1^34

X 2 ^4

= 0.

^ 2 3

^ „ ^-1^24 ^iT34 ^1^4. ... .

Setzt man (— X) an die Stelle von X 2 : X 1( so geht diese Gleichung m P = 0

(No. 21, 6) über; durch dieselbe Substitution gehen die Gleichungen

?i' = 0, <p 2 ' = 0, <p 3 '=0, <p 4 ' = 0,

deren Verein von den Coordinaten der Doppelebene einer Grenzfläche erfülltwird, in das System No. 2l, 5 über. Die Ebenen des zwei Flächen II. O.gemeinsamen Polartetraeders sind daher die Doppelebenen, die inder von den beiden Flächen bestimmten Schaar enthalten sind.

23. Die abgeleiteten Functionen der Function<p Xj_/ -f- X 2 F = 0in Punkt- oder in Ebenencoordinaten sind

’fk = X x fk -t- x 2 ^*'.