§ 15 - Raumcurven dritter Ordnung und abwickelbare Flächen dritter Klasse. 365

fache Gestalt an, wenn man als Träger zweier Büschel zwei Tangenten a und tder R 3 und als Träger des dritten die Secante a der R 3 benutzt, welche dieTangentialpunkte A und B der Tangenten 3 und x verbindet.

Sind T 0 und T 3 die Scbmiegungsebenen (§ 10, No. 3) in den Punkten A undB, so entspricht die Ebene 1T 0 des Büschels tr den Ebenen der Büschel a und x,welche die Curve R 3 in einem dem Punkte A unendlich nahen Punkte treffen;dies ist im Büschel 1 die Ebene, welche die Tangente 3 enthält, denn diese ent-hält ausser A noch einen unendlich nahe bei A gelegenen Curvenpunkt; und imBüschel x die Ebene, welche die Gerade a enthält. Es entsprechen sich daherdie drei Ebenen

7K aj 7 ^ •

Die Ebene ra kann als eine Ebene des Büschels 3 angesehen werden,welche R., in einem dem Punkte B unendlich nahen Punkte trifft; im Büschel aentspricht ihr daher die Ebene, welche die Tangente x enthält und im Büschel ’xdie Schmiegungsebene T s . Es entsprechen sich also die drei Eibenen

ji 7; tt 75; .

Sind T x = 0 und T 2 = 0 die Gleichungen der Ebenen aa und xa, so kannman sich die Functionen T 0 , 7\, T 2 , T 3 immer mit solchen Faktoren multiplicirtdenken, dass die Gleichungen dreier entsprechenden Ebenen der drei projectivenBüschel 3, a, x die Form haben

?’= Xj T 0 — X 2 2\ = 0, T’ = A t T x — l^T 2 = 0, T" = X, T 2 — X 2 T 3 = 0.

Dividirt man diese Gleichungen durch X t und bezeichnet den QuotientenA 2 : Aj mit X, so gehen diese Gleichungen über in

1 . T = T 0 — \T X = 0 , T' ^ 7 \ — \T 2 = 0 , T" = T 2 — \T 3 = 0 .Diese drei linearen Gleichungen für x, y, z enthalten einen veränderlichen

Parameter A, und zwar erscheint X als die einzige unabhängige Veränderliche.Durch X kann man die Coordinaten jedes Curvenpunktes ausdriicken, indem mandas System 1. nach x, y, z auflöst.

Die Auflösungen eines Systems von drei linearen Gleichungen sind be-kanntlich Quotienten, welche als gemeinsamen Nenner die Determinante derGleichungen und als Zähler Determinanten dritten Grades in den Coefficientender Gleichungen haben. Die Coefficienten der Gleichungen 1. sind lineareFunctionen von X; die Lösungen des Systems 1. haben daher die E'ormx — (a 0 4 - a t X 4- ö 2 X 2 4- z* a A- j ) : ( d 0 4 - 'QA 4- d 2 X 2 -+- d 3 X^),

2. y — (^ 0 4 - b x X 4- b 2 X 2 -P b 3 A 3 ) : ( d 0 -P d t X -P d 2 X 2 -P d 3 X 3 ),z = (c 0 - p c 1 l -p c 2 X 2 -P r 3 X 3 ) : ( d 0 -P d x X 4- d 2 X 2 4 - d 3 X 3 ) .

Die Coordinaten der Punkte eines R 3 lassen sich daher alsgebrochene rationale Functionen eines Parameters X darstellen, undzwar in der Form

3.

* = T = ^ = <P - 2 ,

9a Ta Ts

wobei <p 0 , tfj, <p 2 , cp 3 ganze Functionen dritten Grades von X sind.Setzt man die Werthe 2. in die Gleichung eines Curvenpunktes einxu 4 - yv 4- zw — 1=0,so erhält man, nachdem man mit <p 3 multiplicirt hat

90» -+- <?iV 4- cp 2 w — <? 3 = °-

Ordnet man dies nach steigenden Potenzen von X, so entsteht

4.

wobei

A n

A -A,

A 2 •

A 3 • A t

0,