§ 15 ' Raumcurven dritter Ordnung und abwickelbare Flächen dritter Klasse. 367

bekanntlich die Gerade A 0 A l . Aus 1. folgt für die Coordinaten jedes Punktesdieser Geraden die Darstellung

x = , = &, *=&,

«Ps ?3 <Ps

wobei <p 0 , cp,, <p 2 , cp 3 lineare Functionen von X sind.

Die Punkte, deren Gleichungen unter der Form enthalten sind

2. A 0 4 - IA 1 -t- WA 2 — 0

liegen auf der Ebene der drei Punkte A 0 A 1 A 2 ; denn die Coordinaten dieserEbene genügen der Gleichung 2. unabhängig von X.

Wir beziehen die Gleichung auf ein Coordinatensystem, dessen X F-Ebene.mit der Ebene A 0 A 1 A 2 zusammenfällt, und setzen dann w — 0; hierdurch magentstehen

B 0 -P -P l*B 2 = 0.

Dies ist die allgemeine Form der Gleichung eines Punktes unserer Curvein Liniencoordinaten, bezogen auf das neue System XOY. Aus dieser Gleichungfolgen für x und y Werthe von der Form

uTq -P er, X —P cz 2 X 2 &q ~P X -P ^ 2 ^^

Cq -P c, X -(- c 2 X 2 } ^ Cq -p r, X -P c 2 X 2

Betrachtet man diese beiden Gleichungen als lineare Gleichungen in Bezugauf X und X 2 , so erhält man Auflösungen von der Form

3. X = B^ : B 2 , X 2 = Bq : B 2 ,

wobei T 0 , T lt B 2 lineare Functionen der Coordinaten x und y sind. Aus diesenbeiden Gleichungen folgt durch Division

4. ^ X = T 0 : T t .

Die beiden Gleichungen 3. kann man durch die erste derselben und durch 4.ersetzen, so dass man die beiden Gleichungen behält

5. T 0 — X7\ = 0, — Xr 2 = 0.

Diese lehren sofort, dass die Punkte, die der Gleichung 2. entspringen, dieSchnittpunkte entsprechender Strahlen zweier projectiven Büschel sind; dieGleichung des erzeugten Kegelschnitts ergiebt sich durch Elimination von X ausden beiden Gleichungen 5. zu T 0 B 2 — = 0 . Aus derselben ist ersicht-

lich, dass T 0 und B 2 die Curve in den beiden Punkten berühren, in denen sievon 7 1 , geschnitten wird.*)

13. Hat man auf einer Raumcurve III. O. zwei Punkte A und B gewählt,so sind dadurch die Ebenen T 0 , T x , B 2 , T 3 bestimmt; die Functionen T 0 , 7\ ,B 2 , B 3 (No. 10, 1) sind somit jede bis auf einen constanten Faktor bestimmt.

Ist noch ein Punkt C der Curve bekannt, und schneiden sich in demselbendie Ebenen

1. a 0 Bq — a 1 B , = 0, a , V, a 2 B 2 = 0, a 2 B 2 a 3 B 3 = 0,

so sind die Verhältnisse der Coefficienten a 1 , a 2 , a 3 bestimmt, und die Punkteder Curve werden für jedes X als Schnittpunkte der drei Ebenen erhalten

2. B a — X • a x B 1 = 0, a 1 P,-X'« 2 r 2 = 0, a 2 B 2 — X • a 3 B 3 = 0.

Hieraus ist ersichtlich: Eine Raumcurve III. O. ist durch zwei Punkte,

die Tangenten und die Osculationsebenen in diesen Punkten, sowiedurch einen dritten Punkt eindeutig bestimmt.

Der Punkt A, in welchem sich die Ebenen B 0 , 7), T 2 schneiden, dessen

*) Möbius, Der baryc. Calcul, 5. Kapitel. Clebsch, Ueber diejenigen ebenen Curven, derenCoordinaten rationale Functionen eines Parameters sind. Grelles Journal, Bd. 64, S. 43. 1865.