§ 15- Raumcurven dritter Ordnung und abwickelbare Flächen dritter Klasse.

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weither Weise, wenn man als Träger zweier Reihen zwei auf der Fläche !R 3liegende Gerade <t und x und als Träger der dritten den Schnitt st der Ebenenwählt, welche 8i 3 längs <j und x berühren. Wir bemerken, dass 7 und x dieCuspidalkante der Fläche berühren; die Berührungspunkte seien P 0 und P 3 .

Der Punkt P 0 der Geraden 7 ist der Schnitt von 7 mit der Eibene von 9i 3 ,welche der durch 7 gehenden unendlich nahe liegt; ihm entspricht daher auf ader Schnitt P x von a und 7, und auf x der Schnitt P 2 von x und a.

Die Ebene von 1K 3 , welche der Ebene a P 3 unendlich nahe liegt, trifft 7 inP x , a in P 2 und x in P t , also entsprechen sich auch diese drei Punkte.

Die linearen Functionen P 0 , P x , P 2 , P 3 lassen sich nun immer mit solchenZahlen multipliciren, dass die Gleichungen entsprechender Punkte der drei ReihenP (l P x , P y P 2 , P 2 P x die Form haben

P= jx t P 0 p 2 P x = 0 , P > = ! x iPi P -2 P$ — 0 , P" = p-j -P3 P 2 -^3 = 0 •Dividirt man durch pj und setzt p 2 : pj = 0, so entstehen die Gleichungen

1. P^P 0 -hA=Ö, — ^-p/^O, P" ^ Pg^H-P, =0-

Jede Ebene, deren Coordinaten diesen drei Gleichungen für irgend einenWerth der veränderlichen Zahl genügen, berührt die 9f 3 . Man kann aus den-selben u, v, w durch p ausdriicken und erhält somit die Coordinaten jederEbene der 9i 3 als rationale Functionen eines Parameters p; die Auf-lösungen des Systems 1. haben die Form

u = (a 0 + « 1 p + ü 8 p 2 -+- a 3 p 3 ) : (8 0 -P S,p -p o 2 p 2 -p S 3 p 3 ),

2. v = (ß 0 -+- p -p ß 2 p 2 -p ß 3 p 3 ) : (S 0 H- o t p -t- S 2 p 2 -p ö 3 p 3 ),

w = (To -F Ti P + Ts P 2 + Ta f* 3 ) : (3 0 + 8 i P + S 2 P 2 + p 3 ) .

Setzt man die Werthe 2. in die Gleichung ein

ux -h vy -+- wz — 1=0,

so erhält man nach Beseitigung des Nenners eine Gleichung von der FormA 0 -p p^4j -p p 2 ^4 2 -+- p 3 ^ 3 = 0,worin A 0 , A x , A 2 , A 3 lineare Functionen in Punktcoordinaten sind.

11. B. Ebenso, wie in No. 11, schliesst man umgekehrt: Alle Ebenen,deren Gleichungen aus

A 0 -p p^4j -+- p 2 ^4 2 + |i s ij =0

erhalten werden, indem man dem Parameter p alle Werthe von —bis -+- 00 ertheilt, umhüllen eine abwickelbare Fläche III. Kl.

12. B. Die Eigenschaft, dass die Coordinaten jeder Ebene sich als rationale

Functionen eines Parameters ausdrücken lassen, hat die abwickelbare Fläche

III. Kl. mit der Geraden und dem Kegel II. O. gemein. Sind A 0 , A x , A 2 dieGleichungen dreier Ebenen, so geht jede Ebene, deren Gleichung von der E'orm ist1- Aq “P p Ay = 0

durch die Gerade A 0 A X .

Jede Ebene, deren Gleichung die Form hat2* Aq -p p-dj -p p 2 yl 2 = 0

geht durch den Schnittpunkt der Ebenen A 0 A X A 2 . Die Gleichung der Spurvon T auf der X FTEbene entsteht, wenn man in 2. z — 0 setzt. Man erhältdann eine Gleichung von der Form3- Bq -p pifj -P p 2 Z? 2 = 0,

worin B u , B x , B 2 lineare Functionen von x und y sind. Aus dieser Gleichungerhält man für die Coordinaten der Spur Ausdrücke der Form

u = «0 +a 1 P + a 8 P i y = ßo + ßiP -+• ßaP 8 .

. To -F Ti P + T 2 F 2 ’ To + Ti P + T 2 P 2 ’

lost man diese Gleichungen nach p und p 2 , so erhält man