§ g. Bestimmte Doppelintegrale.

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um die X-Achse, so ist die von einem Scheitel bis zu einem Parallelkreise sicherstreckende Fläche des zweisclialigen Rotationshyperboloids, wenn dieExcentricität wieder mit c bezeichnet wird

2 /* _

F = —j- / j/tT 2 x 2 — a* dx

a

— ^5- — « 4 — a 2 £ —

r 4 ca: -+- ]/T 2 x 2 —c <z(c -+- b)

Rotirt dieselbe Hyperbel um die X-Achse, so entsteht ein einschaligesRotationshyperboloid. Für eine von der XF-Ebene bis zu einem Parallel-kreise reichende Zone desselben ist

y

F= + (QV

Da nun

jV»

so hat man

x ■

2

dx

dy

ay

b y7' 2 -f-y 2

, j/i+($V

a 1 /b*

c 2 y 2

d y)

b 2 x

2 .

2« a r ,

- b 2 J^‘

= (y V * 1

b 4 -+- b 2 y 2 dy ,

c 2 y 2

l C -d-

c

■ yb i

c 2 y 2

b 2

)

29. Bezeichnet ds das Bogendifferential eines Meridians, so kann man dieZone der Rotationsfläche kürzer in der Form angeben

F = 2t fyds .

Hier erscheint s als die Integrationsvariable, und y ist durch s auszudrücken.Statt dessen kann man unter Umständen auch y und ds durch eine andere un-abhängige Variable t ausdriicken; die Grenzen des Integrals sind dann dieWerthe von t, welche für die Endpunkte des Meridians der Zone gelten.

Rotirt ein Kreis mit dem Halb-messer a um eine Gerade OX, die inseiner Ebene um e vom Centrum ent-fernt liegt, und nimmt man den Winkelr f zur unabhängigen Variabein, so isty *= e — acos <p , ds = ad cp.

Will man die ganze Oberfläche desRinges berechnen, so gelten für <jp die

Grenzen 0 und 2t; daher ist ---U-r

2k

F— ^r.aj(e — acos<f)d<f = 4t 2 ae.

0 r

(M. 522.)

§ 9. Bestimmte Doppelintegrale.

1. Das einfache bestimmte Integral

Jf(x)dx

a

haben wir als den Grenzwerth definirt, dem sich die Summe

40'