§ 9- Bestimmte Doppelintegrale.

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Es ist gebräuchlich die Klammern wegzulassen und das Differential derVariabein, nach welcher zuerst integrirt wird, an die letzte Stelle zu setzen.

Das über eine begrenzte Fläche f erstreckte Integral

f(f(x,y) d f

wird daher durch zweimalige Integration gefunden; man denke sichzunächst x constant und berechne das bestimmte Integral

fy(x,y) d y,

erstreckt über den Theil der durch das Ende von x gehenden Nor-malen zu OX, der innerhalb der Fläche f liegt; dieses Integral isteine Function von x allein; hierauf berechne man das Integral

f[h( x >y) d y\ dx

erstreckt von der kleinsten bis zur grössten Abscisse der Fläche f.

Man kann in dieser Betrachtung die Coordinaten x und y gegen einandervertauschen und gewinnt dann die folgende Regel: Um das über die Flächef erstreckte Integral

h( x >y)df

zu erhalten, denke man sich zunächst y constant (z. B. gleich OG) undberechne das bestimmte Integral

fy(x,y) dx,

erstreckt über den Theil der zu y gehörigen Normalen zu OY, derinnerhalb f liegt; dieses Integral ist eine Function von y allein;hierauf berechne man das Integral

f[fy( x <y)d x ]dy,

erstreckt von der kleinsten bis zur grössten Ordinate der Fläche f.

Da die über Flächen erstreckten Integrale durch zweimalige bestimmte Inte-gration gefunden werden, so bezeichnet man sie als bestimmte Doppel-integrale.

4. Wir wollen nun an einigen Beispielen die Grenzen der aufeinanderfolgenden Integrationen bestimmen.

A. Ist die Fläche f ein Rechteck ABCD, ®dessen Seiten den Coordinatenachsen parallel sind,und in welchen AD und B C die Abscissen a und a x ,

AB und DC die Ordinaten b und b x haben, so ist"1 t \

Jzd/ = J Jzdxdy,

a b

= / fzdydx. (M . 52 5 .)

b a

Wenn beide Integrationen zwischen constanten Grenzen erfolgen,so kann daher die Reihenfolge der Integrationen ohne Aenderungder Grenzen gewechselt werden.

Die Bedingung, dass das Doppelintegral überdie Fläche des Rechtecks ausgedehnt werdensoll, kann durch die Ungleichungen ersetzt werdena < x ^ a 1 ; b < y < b x .

B. Ist die Fläche f das Dreieck OAB, dessenHypotenuse AB die Gleichung hat

* ' - 0 ,

so gehört zu einer gegebenen Abscisse die Ordinate

(M. 526.)