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Integralrechnung.

Af-Achse sich anschmiegende Curve M der Parameter |x — — b und für die be-grenzende Curve [x = 0 ist, so hat man die Transformation

a (f ) 2 o - b

2. JJ 9 d X dy = f 9 .y====^===dtLdX.

0 0 — i — a

Da innerhalb des ganzen Integrationsgebiets X < |x, so ist statt des ZählersX — (x in 1. hier |x — X gesetzt worden; in Uebereinstimmung hiermit ist dieWurzel im Nenner positiv zu rechnen.

9. Berechnung von Oberflächen. Um das Stück F der Oberflächetp (x,y, z) = 0 zu erhalten, das eine gegebene Horizontalprojection /hat, zerlegenwir f in kleine Theile A/ und durchschneiden F durch die Mäntel der parallelder Z-Achse erstreckten Cylinder, welche A/zu Normalschnitten haben; hierdurchzerfällt F in ebensoviel Theile wie / die wir mit A F bezeichnen. Legen wirnun in irgend einem Punkte innerhalb jedes A F eine Tangentenebene an F undbezeichnen das Stück derselben, dessen Horizontalprojection mit A f zusammen-fällt, mit A T, so stimmen die Summen 2 A F und 2 A T um so genauer überein,je kleiner die Normalschnitte A f sind. Geht man zur Grenze für verschwindendkleine A/ über, so erhält man

F = lim 1\F = lim 2AZ'.

Ist t der Winkel, unter dem AZ’ gegen die XV -Ebene geneigt ist, so istbekanntlich

A T =

M.

cos ~

daher hat man

F — lim 2

4/

oder

1. F = f—— • df — f dx dy .

J COS T y J J C0SX

Ist die Gleichung der Fläche z = y{x, y ), so ist (Differentialrechnung § 6, No. 1)

1

COS T = . ■■

und daher

Aus der Gleichung <p(x, y, z) = 0 folgt

COST

10. Für das elliptische Paraboloid ist

_ x 2 y 2 dz x dz y

Z 2a 2^ ’ dx a’ dy b ’