§ io. Dreifache bestimmte Integrale.
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P
wobei abkürzend gesetzt ist
K
« - (K) !
(dxy
c ° ~ W
(*)'
(n)’
(8zy
\P) ’
( 6 Z \ 2
W *
fczy
W ’
K
CX CX
= dp d~k ~ l_cx dx~ dp cpcx cxd k cp
cy cy_dp dk8y dydp dpdy_ dydk dp
-A
dz dzd~p dPd z d zc p dp’d z c zdk dp'
Für die verschwindend kleinen Verschiebungen PP,, PP 3 , PP% (No. 5) ist nunPP, = j/a 0 dp , PP 2 = j/b 0 dk , PP 3 = -/c 0 dp .
PP,
PP,
PP 2PP ,
PP* ■ PP 3
cosP, PP-i = a, dpdk ,cosP,PP 3 = a 2 dpdp,
■ cos P 2 PP Z = b,dkdp.
Wenn sich je drei Parameterflächen P, A, M orthogonal schneiden,so sind P, PP 2 , P, PP;\< P 2 PP.\ rechte Winkel; man hat daher a, = a 2 = b, = 0.Die Determinante J 2 .reducirt sich alsdann auf il r Diagonalglied, es ist
J
- v&f ($+ (©'y©- @) ! + m
Dieser Fall tritt bei den gewöhnlichen räumlichen Polarcoordinaten (No. 4) ein.8. Ein weiteres Beispiel für orthogonale Parameterflächen geben dieelliptischen Raumcoordinaten.
Sind x, y, z die Coordinaten eines Punktes, und ist a > b > c > 0, so hatdie cubische Gleichung der Unbekannten v
— 1=0
2 .
a - f— v b -P ') c ~h vimmer drei reale Wurzeln. Beseitigt man nämlich die Nenner, so erhält manF( v ) = x 2 (b + v) (c -fl v) - 1 - y 2 (a -+- v) (c -A v) -+- 2 2 (<r -fl v) (£ -fl v)
— (a -fl v) (^ -fl v) (z -fl v) = 0 .
Setzt man für v der Reihe nach die Werthe — a, — />, — c, <x>, so erhält manF {— a) = x 2 (b — a ) (c — a), F{ — b) = y 2 (a — b) (c — b),
F (— c) = z 2 (a — c) (b — c ), F(oo) = 00 .
Die Wurzeln der Gleichung 1. liegen daher zwischen den Grenzen 00 und
— c, — c und — b, — b und — a\ wir bezeichnen sie der Reihe nach mit
p, k, (j.. Die Gleichungen der Parameterflächen sind
X 2
y 2
z 2
a -P p
b -+■
P
C
-fl
P
x' 2
y 2
-fl
CI -t - K
b +
k
c
-fl
A
X 2
y 2
2 =
(l ~\r JJ*
b -fl
fl
c
-fl p
— 1 = 0 ,
1 = 0 ,
M
A ^
Die Flächen P sind dreiachsige Ellipsoide, A sind einschalige und M sindzweischalige Hyperboloide. Da p, k, p die Wurzeln der Gleichung 2. sind, sogilt die Identität
(a -p v) (b -fl v) (c -p v) — x 2 (b + v)(r + v) — y 2 (a -fl v) (b v) — 2 2 (a -P v)(b - P v)
— (v — p) (v — *) (v — |A) .