§ ii. Die periodischen Reihen lind die FoURlKR’schen Integrale.

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Folglich ist

3. /j = 2~/(» .

Wird f{ii) für einen Werth von u discontinuirlich, so ist, wie man aus denbeiden Bestandtheilen von J x sofort erkennt, für diesen Werth von u

Ji = 77 [/(* — 0 ) + /(“ ■+■ () )] >

wenn man mit f{u — 0) und f(u + 0) die Grenzwerthe bezeichnet, welchef{u — x) und f(ii 4 - x) erreichen, wenn die positive Zahl x zur Grenze Nullabnimmt.

Für u — 0 fallen die Grenzen des ersten Theiles von J Y zusammen, derselbeverschwindet daher und es bleibt

J j = tz /(-+- 0), wenn u = ().

Für u = - fallen die Grenzen des zweiten Theils zusammen und es wird daher_/j = -/(ji — 0) , wenn u = r .

Das Integral J 2 verschwindet nach 2., sobald

0 < u < tt;

ist u — 0, so ergiebt sich

Ji = */(+ 0) •

Der Fall u = ~ bedarf aber noch einer besonderen Untersuchung. In diesemFalle ist

7t

sin(2n 4- 1) wsinw

/(2 w — r) dw .

7t

7

Setzt man nun w = - — x, so erhält man

Ji

r sn

sin(2n l)x

/(t: — x) dx .

Daher ist

4.

/

sin (2 n 4 - 1) w

/(2 w

rdjdw =

Sollte f{u) an der Stelle u = t discontinuirlich sein, so hat man, wie ausder Herleitung sofort erkannt wird, für /(r) in dieser Gleichung den Grenzwerth/(tt — 0) zu nehmen.

Führt man diese Ergebnisse in No. 5, 7. und 8. ein, so erhält man schliess-lich die beiden Sätze*): Die periodische unendliche ReiheA 0 4- A x cosu 4- A^cos'ia 4- A 3 cos3u 4- • • • ■,

in welcher

Tt «

A 0 = Ij/J) dv , A k = ^ If{v)

coskv dv,

und /( v) eine innerhalb der Integrationsgrenzen 0 und t: endlicheFunction ist, hat für jeden Werth von u von 0 bis r. einschliesslichbeider Grenzen die Summe /(«), sobald f(u) continuirlich ist; erleidetJ(u) Unterbrechungen der Continuität, so dass für einen (oder einige)Werthe von u die Grenzwerthe f(u — 0) und /(« -t- o) von einander

*) Lejeune-Dirichlet, Crelle, Bd. 4 , pag. 94. Schloemilch, Compendium, 2. Bd., 2. Aufl.,pag. 123.