§ ii. Die periodischen Reihen und die FouRlER’schen Integrale.

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f(x) durch beliebige endlich bleibende Functionen f x (x) und (x) fortsetzen(vergl. No. 10).

14. Die in No. 12 entwickelten Reihen gestatten eine werthvolle Anwendung

auf das Problem der Umkehrung der Functionen*).

Dieses Problem besteht darin, y aus der Gleichung x = <p(j/) als Function

von*, oder allgemeiner irgend eine Function F{y) als Function von x auszudrücken.

Da F(y) eine Function von x ist, so lässt sich F(j) innerhalb gewisser

Grenzen durch eine Cosinusreihe ausdrücken

. . . KX 2xx , %xx

1 . F(j) = A 0 -+- A 1 cos — -+- A i cos—^~ ■+• A^cos-^- -+- . . .

0 <C x < a.

Die Coefficienten sind

0 0

Durch theilweise Integration folgt hieraus zunächst

a Xl

A o = \ [^w] — \ f x F' (y) dy ,

0

Ak = ^ F(jy)sin ^ _ JL J F ’(y)sin^dy ,

0 ?o

wenn x = 0 und a die Werthe y =y 0 und y 1 entsprechen; hieraus folgt weiter

Xl Xl

2. A 0 = A'O'i) — — J y(y)F'(y)dy, A k = - £ jF’ {y)sin — 9 (y) dy .xo xo

Betreffs der Integrationsgrenzen ist hier Folgendes zu bemerken. Die nach xgenommenen Coefficientenintegrale waren von 0 bis zu der positiven Zahl aerstreckt, und es war dabei vorausgesetzt, dass x von 0 bis a stetig wachse.Will man nun x durch y ersetzen, so hat man zunächst die Gleichung

0 = <f(y)

aufzulösen; eine reale Wurzel ß dieser Gleichung ist dann die der Grenze x = 0entsprechende Grenze für y. Im Allgemeinen wechselt r {(y) das Zeichen, wenn ydurch den Werth ß hindurchgeht; damit nun x von 0 bis zu der noch unbe-stimmten oberen Integralgrenze wachse, muss manjy vom Werthe y = ß zunehmenoder abnehmen lassen, je nachdem <p(jp) von cp(ß) = 0 aus mit y zugleich wächstoder nicht, und darf die Integration nach y nicht weiter ausdehnen, als bis zueinem solchen Werthe von y, für welchen das Wachsthum von cp (y) in eine Ab-nahme übergeht, d. i. bis zu dem Werthe y — ß t , welchem das dem Werthe ßder Variabein y zunächst liegende Maximum der Function cp (y) zugehört. Somitist also die obere Grenze a der Reihe 1. nicht ganz willkürlich, sondern a darfnicht grösser sein, als <p(ßi).

Ist nun b eine zwischen ß und ß t liegende Zahl, so hat man in den obigenFormeln a, y 0 , _y, durch cp (b), ß, b zu ersetzen und gewinnt mithin

XX 2xx

F(y) = A 0 + •+- A * cos ^l h) + • • •

Q <C x <C cp (b) .

*) Schlokhmilch, Compendium 2. Bd. 2. Aufl. pag. 152.