§ ii. Die periodischen Reihen und die FouRiER'schen Integrale.

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e~‘ cos ut dt ■

CO

f e~ l sinuf\ 1 f .

---+- — / e~ l smut dt ,

L « J U J

C , • , ^ [e-‘cosuf\ 1 C

le- i sinutdt =— --- — uf e

e~‘ cos utdt.

0 0

Hieraus ergiebt sich leicht

/ e~* cos ut dt — -—-—„ , (e

1+ u* J

e~ l sinut dt =

1 -t- u 2 '

0 ö

Daher gewinnt man aus No. 16, 2 und No. 17, 2 die Integrale

/

1 u 1

du

x > 0 .

f

u sin xu 7t

m* du = i e -*’ X>Q -

Ersetzt man hier u durch — und x durch ax so erhält man die Integrale

a

COS XU 7t

-=- du = — e-™

<x‘ -+- u l

2a

a > 0 , x > 0,

/;

a* w

du = a > 0, jc > 0.

Bemerkung. Die auf pag. 673 gegebene Herleitung des Resultates 3. stimmt im Wesent-lichen mit Fourier’s Deduction überein; sie gestattet aber einige Zweifel und bedarf daher einergenaueren Untersuchung, bezüglich deren wir auf Schloemilch’s »Compendium der höherenAnalysis«, Bd. II, verweisen.