12. Algebraische Functionen einer complexen Variabeln.

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AB gleich und gleichgerichtet mit bi macht. Demnach sind die Strecken OA lt

OA 0 , OA., OA

4 der Reihe nach die Repräsentanten der complexen Zahlen5 -P 3 i, — 5 -+- 3 i, —— 5 — 3 i, 5 3 i,

3/ bezeichnet.

und die Punkte A lt A 2 , A%, A i werden als die Zahlpunkte ± 5Ist P die Projection von P aufO X und ist O P = x, P P = y,so ist P der Zahlpunktx -h yi.

Ferner ist

X

OP = r — j/x 2 + y 2 ,wobei wir die Wurzel positiv rech-nen wollen; wird XOP mit cp be-zeichnet, so ist

x y

cos <? = -> «»? = -,

x -p iy — r (cos <p -P i sin cp) .

Die Grössen r und cp werdenals Modul und Amplitude dercomplexen Zahl x-\-iy bezeichnet.

Die complexen Zahlencos cp 4 - i sin cp ,

deren Modul gleich der Einheitist, bezeichnet man als complexe Einheiten; die Einheitspunkte liegen aufeinem Kreise, der um den Nullpunkt mit der Längeneinheit als Halbmesser be-schrieben ist. Zahlen a ■+■ ib, für welche a und b dasselbe Verhältnis haben,besitzen dieselbe Amplitude oder um t, verschiedene Amplituden; sie liegen daherauf derselben durch den Nullpunkt gehenden Geraden.

3. Die geometrischen Definitionen der Summe und Differenz übertragen wirnun auch auf complexe Zahlen. Ist PR gleichOQ und gleichgerichtet, so setzen wir

OR = OP -p OQ;

und ist PS gleich OQ, aber von entgegen-gesetzter Richtung, so ist

OS = OP — OQ .

Werden durch die Punkte P und Q dieZahlen a ■+■ bi, c -+- di repräsentirt, so ist daher(yi bij -p (c -p tii'j = (ci —p c 'j —P (b —p d'J i,

(a -p bi) — (c -P di) = (a — c) -p (b — d) i.

4. Dem Principe der Continuität der Rechen-regeln folgend, wird das Produkt complexerZahlen durch die Gleichung definirt

(1 <1 -p bi) ■ {c -P dt) = ac -P bc • i -P ad • i -p bd ■ i ■ i = ac

Ist a -P bi = r{cos cp -p i sin cp),so ist der Modul R des ProduktsR

X

bd -p (bcc -p di = (cos cpj + isin cp,),

ad );

| /(ac — bd ) 2 -p (bc

= Y(a 2 + b 2 ) (c- -r i

Für die Amplitude <1> des Produkts hat man

, ab — cd ab cd

cos <1> =

^ ^ r ^ r r i

ad ) 2 = Ya 2 c 2 -p b 2 d 2 -p b 2 c 2 -P a 2 (fi-p d 2 ) = r • r,

R

cos( cp + cp,) ,