§ 12. Algebraische Functionen einer complexen Variabein.

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B 0 s”~i -+- B x s n —‘ l -+- B 2 s>‘-S + . . . + B„ -111 . s. f., so erhält man: Jede ganze algebraische Function raten Gradeseiner Variabein ist das Produkt von ra linearen Functionen.

Der soeben gegebene Satz ist von dem folgenden nicht verschieden: JedeGleichung raten Grades mit einer Unbekannten hat « Wurzeln, vondenen mehrere zusammenfallen können.

Aus der Zerlegung der Function raten Grades cp (s) in « lineare Faktorenerkennt man zugleich, dass die Gleichung cp (s) = 0 nicht mehr als ra realeoder complexen Wurzeln haben kann.

Wenn eine Gleichung raten Grades nur reale Coefficienten hat und einecomplexe Wurzel zulässt, so hat sie bekanntlich auch die conjugirt complexeWurzel. Dieser Satz gilt für Gleichungen mit complexen Coefficienten nicht.Man übersieht dies sofort, wenn man in der Gleichung raten Grades(s — a) (s — b) . . . . (s — ra) = 0

für die ra Grössen a, b, c . . ra beliebig gewählte reale oder complexe Zahlensetzt; denn man erhält dann eine Gleichung raten Grades für s, deren complexeWurzeln in keiner Weise von einander abhängig sind.

8. Wir schliessen hieran eine Bemerkung über die Zerlegung einer echtgebrochenen Function in Partialbrüche.

In § 3, No. 2 ist die Zerlegung einer echt gebrochenen realen Functiongezeigt worden, unter der Voraussetzung, dass der Nenner keine mehrfachenFaktoren hat. Das dort gewonnene Resultat

i(f)_ A \ _, _, _ a — iik)

<?(■*) X — *—$2 ' X—in’ k ? '(&*)’

lässt sich ohne Weiteres auf den Fall complexer Functionen ty{x) und cp(^) aus-dehnen. Dasselbe gilt von der Zerlegungsmethode § 3, No. 3, für den Fall, dass<p(jc) mehrfache Faktoren hat.

Die in § 3, No. 4 gegebene Methode für den Fall mehrfacher complexerWurzeln hat bei complexen Functionen ty(pc) und <p (x) keine Anwendung; esbewendet hier bei der in No. 3 gegebenen Zerlegung.

9. Alle weiteren Functionen, die wir betrachten, werden in bestimmterWeise aus algebraischen Functionen abgeleitet. Einige auf Functionen einercomplexen Variabein bezügliche Sätze, die wir nun mittheilen wollen, gelten füralle diese Functionen unabhängig von ihrer besonderen Natur.

10. Bevor wir zu diesen Sätzen übergehen, muss noch eine andere wichtigeFrage erledigt werden.

Die geometrische Darstellung einer realen Function f{x) einer realen Variabeinx erfolgt, indem man x als Abscisse und f(x) als Ordinate am einfachsten ineinem rechtwinkeligen Coordinatensysteme betrachtet; die Curve y — fix) giebtdann ein anschauliches, viele Untersuchungen wesentlich erleichterndes Bild desFunctionsverlaufs. Eine dem entsprechende Darstellung complexer Functioneneiner complexen Variabein ist offenbar nicht möglich; denn die complexeVariable ist nicht auf einer Geraden, sondern nur auf einem Gebiete zweierDimensionen darstellbar, und eine Function derselben ist im Allgemeinen wiedercomplex (nur für einzelne Werthe real oder rein imaginär), also wieder von zweiDimensionen. Um den Zusammenhang einer complexen Function mit derVariabein anschaulich zu machen, hat man folgenden Weg eingeschlagen.

Man verwendet zwei Ebenen, eine Variabeinebene und eine Functions-ebene. Die Punkte der ersteren stellen die Werthe der Variabein darj