§ 12. Algebraische Functionen einer complexen Variabein.
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Sind Modul und Amplitude von r und z die Grössen R, <I>, r, cp, so ist
R = —, <I> = — <p.
r T
Einem constanten Werthe von r entspricht ein constanter von R, d. i.:Einem Kreise um den Nullpunkt in der Variabeinebene entspricht ein Kreis umden Nullpunkt in der Functionsebene; die Radien zweier entsprechenden Kreisesind reciprok. Einem Strahle durch den Nullpunkt in der variabeln Ebene ent-spricht ein Strahl durch den Nullpunkt in der Functionsebene; zwei entsprechendeStrahlen bilden entgegengesetzt gleiche Winkel mit den realen Achsen.
B. Ist w = z 2 , also u -t- vi = x' 2 — y 2 H- 2xyi, so ist
3. u = x 2 — y 2 , v = 2 xy .
Durchläuft z eine Parallele zur F-Achse, so ist x constant und y veränder-lich. Die Gleichungen 3. ergeben die Gleichung der entsprechenden Curve derFunctionsebene, wenn y aus beiden Gleichungen eliminirt wird. Man erhält
4. » 2 = Ax 2 ( x 2 — «).
Dies ist die Gleichung einer Parabel; die Symmetrieachse derselben fällt indie «-Achse, der Brennpunkt in den Nullpunkt, der Parameter ist 2x 2 , und dieParabel erstreckt sich entlang der negativen Seite der «-Achse.
Einer Parallelen • zur realen Achse der Variabeinebene entspricht in derEunctionsebene eine Curve, deren Gleichung aus 3. erhalten wird, wenn man yconstant annimmt und die Variable x eliminirt; es ergiebt sich
5. v 2 = 4 y 2 (y 2 -+- «).
Dies ist eine Parabel, deren Achse ebenfalls mit der «-Achse, deren Brenn-punkt mit dem Nullpunkte zusammenfällt; der Parameter ist 2.y 2 ; die Parabelerstreckt sich in der Richtung der positiven «-Achse.
Die Parabelschaaren 4. und 5. sind confocal; jede Parabel der einen Schaarwird von jeder der andern Schaar unter rechten Winkeln geschnitten.
Modul und Amplitude von r hängen jetzt mit dem Modul und der Amplitudeder Variabein durch die Gleichungen zusammen
R = r 2 , (1) = 2<p.
Einem Kreise um den Nullpunkt in der z-Ebene entspricht also ein Kreisum den Nullpunkt in der w-Ebene; einem Strahle durch den Nullpunkt in derz-Ebene entspricht ein Strahl durch den Nullpunkt der w-Ebene; der Winkel,den letzterer mit der s-Achse bildet, ist doppelt so gross als der Winkel desentsprechenden Strahls mit der x ; Achse.
12. Jede Function von z = x + iy kann man auf die Form bringenw = 9 ( 2 ) = « -+- vi,
wobei « und v reale Functionen von x und y sind. Aber nicht jeder Aus-druck « 4 - vi, worin u und^Functionen jrundj/ sind, ist eine Functionder complexen Variabein 2 = x -+-yi. Man hat nämlich
dw
dw
dz
dw
dx
dz
dx
dz
und
dw
dw
d z
dw .
8y
dz
dy
dz 2
mithin ist
1 .
dw
. dw
8y -
1 dx ’
d. i.
du
dv
. du
dv
dy
2 dy
l ~8x '
dx