§ 12 . Algebraische Functionen einer complexen Variabein.

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23. Wird dieFunctionswerth w.

Variable von a nach b entlang l,dabei von dem Anfangswerthe a

j geführt und gelangt einzu dem Endwerthe //, so

kommt a/j umgekehrt von b' nach a', wenn z den Weg l x rück-wärts von b nach a durchläuft. Gesetzt nun, w x gelangt von a!nach b’, gleichgültig ob z von a nach b die Wege l oder l x wählt.Lässt man dann z von a auf l bis b und dann auf l x zurück nacha gehen, so ändert sich w x von a! bis zu b' und nimmt am Schlüssewieder den Werth a’ an; und umgekehrt: Gelangt w x vomWerthe a' aus wieder zu a' zurück, wenn z von a aus die Curven

und l.

w x dabei für

nach einander durchlaufend zu a zurückkehrt und hatz = b den Werth b' angenommen, so gelangt w x

(M. 542.)

rückwärts vom

Werthe a' zum Werthe b' , wenn z von a aus die Curve l x bis b durchläuft, w xnimmt also bei beiden Wegen l und l x der Variabein denselben Endwerth an.

Um daher zu erfahren, welche Wege die Variable z von einem Anfangs-punkte zu einem Zielpunkte zurücklegen muss, damit w x zu demselben oder zuverschiedenen Endwerthen gelange, genügt es, die geschlossenen Wege zu unter-suchen.

Erhält w x denselben Werth wieder, wenn z auf der aus l und l xzusammengesetzten geschlossenen Curve von a ausgehend nach azurückkehrt, so erhält auch w x denselben Werth, wenn z auf l oderauf l x von a nach b sich bewegt; und erhält w x nicht denselben Werthwieder, wenn z die geschlossene Curve durchläuft, so erhält w x einenandern Werth, wenn z von a nach b auf l x , als wenn es auf / geht.

24. Um bei der irrationalen Function

w — |fz

die geschlossenen AVege, welche die Variabele zurückzulegen hat, damit w xwieder zu seinem Ausgangswerthe zurückkehrt, von denen zu unterscheiden, fürwelche dies nicht der Fall ist, drückt man z durch Modulus und Amplitude aus.Der'Modulus ist eine eindeutig bestimmte Zahl; die Amplitude dagegen ist un-endlich vieldeutig; ist nämlich tp einer ihrer Werthe, so erhält man die anderen,wenn man tp um ganze Vielfache von 2~ vermehrt oder vermindert.

Ist nun z = r ( cos<f -+- isin cp)

so ist

y r

(<«!+*■*«*!)

Zu jeder Amplitude gehört hiernach ein ganz bestimmter Werth von w, zuallen Amplituden, die um gerade Vielfache von 2ir verschieden sind, gehört einund derselbe Werth w x der zweideutigen Function w, zu den übrigen, die vonden ersten um ungerade Vielfache von 2 tc abweichen,gehört der andere Werth w s .

Geht nun z von einem Punkte a aus und aufeiner beliebigen geschlossenen Curve (1) nach a sozurück, dass dabei die Amplitude um 2ir zu- oderabgenommen hat, so hat z den Nullpunkt einmalumkreist, und w ist von dem Werthe

w x = y r

zu dem Werthe

f=c2 Ti

y r ■

.9

<f ± 2 t

?

(M. 543J.

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