§ 12 . Algebraische Functionen einer complexen Variabein,

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liegenden Punkte a, und ot 2 der zweiblätterigen Variabeinfläche; diese beidenPunkte haben denselben Modulus, ihre Amplituden sind um 2tt verschieden*).

Will man von einem Punkte a des obern Blattes auf der Fläche nach einemPunkte ß des untern gelangen, so muss man den Windungspunkt O wenigstenseinmal umkreisen. Der Weg ist sichtbar bis zum Punkte A, wo er die Ver-wachsung überschreitet und ins andere Blatt gelangt; von da an ist er verdeckt.

Wenn man von a ausgeht und den Nullpunkt zweimalumkreist, so kommt man ins obere Blatt zurück. Willman von a ausgehend eine geschlossene Linie beschreiben,so darf dieselbe den Windungspunkt nicht einschliessen,oder muss ihn zweimal, oder viermal, oder überhaupt einegerade Anzahl Male umkreisen.

Man setze nun fest, dass für irgend einen von O ver-schiedenen Punkt a der RiEMANN’schen Fläche die Function w = f/a deneinen ihrer Werthe w x (und nicht den entgegengesetzt gleichen w 2 ) haben soll;da nun jede geschlossene Curve auf der Fläche den Windungspunkt gar nichtoder eine gerade Anzahl Male umkreist, so folgt, dass der Werth, den ~]/z injedem Punkte annimmt, unabhängig von dem Wege ist, auf welchem die Variablezu diesem Punkte von oc ansgehend gelangt; die Function 1 /z ist also eine ein-deutige Function der Punkte der zweiblätterigen Fläche.

(M. 544.)

Dieselbe Fläche dient dazu, die Function

w = j /az -+- b

als eindeutige Function des Ortes in der Fläche darzustellen; nur hat man denWindungspunkt in den Punkt — b : a zu verlegen.

26. Wir construiren nun eine zweiblätterige RiEMANN’sche Variabeinfläche,für welche die Function

w = Y(z ■— a)(z — b)

eine eindeutige Function des Ortes in der Fläche ist; wir setzen dabei voraus,dass a und b verschieden sind. Bezeichnet man in der Variabeinebene dieAbstände der Punkte a und b von dem variabeln Punkte s mit R und r unddie Winkel dieser Geraden und der X-Achse mit <I> und 9 , so ist

cos -t- i sin g-'j • }/ r (cos |- 4 - z sin | j .

w

= Y*(

*) Um ein anschauliches Modell eines Theiles dieser Fläche zu erhalten, schneide manzwei gleiche Stücke Papier b , und b. tund zerschneide sie entlang OX; hier-auf lege man sie so auf einander, dassdie Schnitte sich decken, und verbindedurch Ueberkleben mit einem StreifenPapier den Rand 1. des obern Blattesmit 2. des unteren. An den Stellenc und d mache man entlang OXkleine Schnitte in den verbindendenStreifen, und schiebe durch dieselbeschmale Papierstreifchen, durch die man nun bei c und c' bez. d und d' durch Ankleben denvordem Rand des obern mit dem hintern Rande des untern verbindet. Die Vorschrift über dasUeberschreiten der Verwachsung findet dann ihren deutlichen Ausdruck darin, dass man auf demlangen Streifen nur von oben 1 nach unten 2, auf den schmalen Stegen nur von oben c und dnach unten d und d 1 , oder umgekehrt, gelangen kann.

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