712

Integralrechnung.

9

3. ft da p = «cp .

ö

Aus 1., 2., 3. folgt schliesslich

4. Lz = Lr(cos f + t sin <p) = Ir iy + k • 2tr«.

5. Der Logarithmus ist eine unendlich vieldeutige Function; jede Umkreisungdes Nullpunktes durch die Variable auf dem Integrationswege vermehrt odervermindert den natürlichen Logarithmus um 2~«, je nachdem die Umkreisungim positiven oder negativen Sinne erfolgt. Um die Function

w = Lz

als eindeutige Function der Punkte einer RiEMANN’schen Fläche zu erhalten, hatman für die Variable eine Windungsfläche zu benutzen, die sich um den Null-punkt windet und aus unzählig vielen Blättern besteht, die ausser im Windungs-punkte keine Verwachsung zeigen; diese Variabeinfläche ist als Schrauben-fläche mit unendlich kleiner Ganghöhe aufzufassen. Wir wollen auf jederWindung eine Gerade vom Nullpunkte aus in der Richtung der realen Achseziehen; der durch zwei solche auf einander folgende Geraden begrenzte Theilder z-Fläche heisse ein Blatt derselben. Für einen bestimmten Punkt z derVariabeinfläche nehmen wir den Werth des Lz zu

Lz = Ir -+■ «<p, 0 < cp < 2tr

an; dann ist für alle Punkte desselben Blattes der Logarithmus durch dieselbeFormel dargestellt. Dieses Blatt heisse das Blatt 0, die darauf folgenden dasBlatt 1, 2, 3, die vorhergehenden das Blatt — 1, — 2, t— 3, . . . In das Blatt kgelangt man vom Punkte 1 des Blattes 0 durch /l’malige Umkreisung des Null-punktes, wobei ein negatives k negativen Drehungssinn angiebt; daher ist füralle Punkte des Blattes k

Lz = Ir -t- «cp -+- 2£ttz, 0 < cp < 2n .

6. Wir construiren nun zu den Punkten der z-Fläche die zugehörigen Punkteder «/-Ebene, und beginnen zunächst mit den Punkten des Blattes 0.

Für den an der Grenze der Blätter 0 und — 1 liegenden Punkt 1 ist w = 1 = 0;durchläuft z die realen Werthe von 1 bis oo, so durchläuft w die positive reale

V v

txi

' A

ZJVt

\v

W

tF .

u 0

; ^

i

i

Ir

Tf

■T'-i

nr p

mi

(M. 558.)

Achse; durchläuft z die reale Strecke von 1 bis 0, so legt w die negative realeAchse zurück*). Beschreibt z von dem realen positiven Werthe r aus einen posi-

*) In beistehender Figur ist die zc-Flächc in £ des Maassstabes ausgeführt, wie die z-Fläche.