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Integralrechnung.

iR = 1 /b(z~ z) (z - fi) (z - y) = (T ~>y 2 V a i Ö - ( 2 ) (/> 2 - S 2 ) •

Ersetzt man hier p 2 durch b 2 , so erhält man wie bei einem endlichen Werthevon S für die transformirte Wurzel

wobei b 1 = 1, b 2 = p 2 ist.

Führt man die lineare Substitution in

/(*, 1 fR) dz , R = az 4 bz z -h . . .

aus, so erhält man

wobei/j eine rationale Function von J und R 1 a x (l> 1 — ; 2 ) (b 2 — ; 2 ) bezeichnet.Diese Function lässt sich immer auf die Form bringen

y-i-tyj/R !

14.

/iß. F^i)

cpi + i/Wj ’

worin cp, <Pi> 'J'i ganze rationale Functionen von ; sind. Macht man rechtsden Nenner rational, so entsteht

^ <d >r Yr,

/l “ T f

wo nun Z, W ganze Functionen von £ sind. Daher ist schliesslich

jf (z, YR)dz = Jj dz = y*2 l/^i /C •

Das erste Integral rechts enthält ein rationales Differential und führt daherauf algebraische Functionen und Logarithmen. Im zweiten schreiben wir

/■«.• ,_ r ur

!5.

worin ff'j = ff' • R x ist.

7. Wir beschäftigen uns nun zunächst mit der Transformation des Ausdrucks

_ dZ _

-; 2 )(^ -; 2 )'

A. Ist a t > 0, b x > b 2 > 0, so hat die Wurzel

-?*)(** -c*)

reale Werthe, sobald /c 2 > C 2 oder < ; 2 . Im ersten Unterfalle setzen wir

c=y^-3,

und erhalten

= l/^M 2 • l/(l-3 2 )(l-^3 2 ),

_ j_ _ ^3 _

V*7 “ AÄ ' 1/(1 -3 2 )(1 -*»«*) ■

Im zweiten Unterfalle nehmen wir

woraus folgt

Y&l = • ~2 ■ l/("l-3 2 )(l-^3 2 )-

cf; i_^_

/Ri Vm» yö — s 2 ) (i — **«*)'

B. Ist a x >0, b x > 0, b 2 < 0, so muss ; 2 > b x sein; wir setzen