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Integralrechnung.

Hierauf gehen wir von P t bis zu dem Punkte P 2 , für den x 2 = x 1 + &x itA 2 =7i + 4l'i> wobei

Aki = f(F l ,y x )\x i ,

und so fort, so dass wir von jedem Punkte Pi bis zum nächsten P l+X in derRichtung weiter gehen, für welche

4 Vi = yi+ 1 — y% = f(xi, yi) • Aar,, Ix, — x i+x — xGehen die Abscissenveränderungen Aa: 0 , A.Tj , Ax 2 . . . zur Grenze Nullüber, so geht das Polygon P 0 P 1 P 2 . . . in eine Curve über, und diese Curveist ein Integral der Differentialgleichung / = fix, y).

6. Wenn zwei allgemeine Integrale einer DifferentialgleichungI. O. nach den willkürlichen Constanten aufgelöst die Gleichungenergeben

1. F — C, f = c,

so ist F eine Function von /, d. h. wenn man aus der Gleichung f{x, y) =fdie Variable y (oder x) berechnet, indem man das rechts stehende / als neueVariable betrachtet, und diesen Werth in F substituirt, so enthält F dann nurdie Variable f, nicht auch x (oder y) . -

Durch Differentiation folgt aus 1 .

8F , dF , df df

-x— dx -t- -xr— dy = 0 , x - dx + -f- dy — 0 .

ox Cy ’ dx dy J

In beiden Gleichungen kommt keine willkürliche Constante mehr vor, ausbeiden muss sich also für alle Werthe von x und y derselbe Werth für y' er-geben; die nothwendige und ausreichende Bedingung hierfür ist das Verschwindender Determinante

dF

dF

dx

dy

dx

dy

3.

Drückt man y in der angegebenen Weise durch x und / aus und setzt diesF ein, so erhalte man g. Diese Function kann nur/ und x enthalten; man hat

d% dF dF dy

~dx dx dy dx'

Bei dem letzten Dififerentialquotienten ist y als Function von x und /gedachtund vorausgesetzt, dass sich / nicht ändert; daher bestimmt sich derselbe ausder Gleichung

df df

dx -y- ö — dy —

0 .

dx dy

Wird der hieraus folgende Werth in 3. eingesetzt,gg _ 8F _ dF <f^'d_fdx dx dy dx ‘ dy

d_F <>f\'dfdy dx) ' dy'

Da nun / nicht frei von y sein kann, so folgt aus 4. und 2

d%

ergiebt sich

_ ( d JL d l

\ dx dy

dx

- 0;

also enthält % die Variable x nicht, w. z. b. w. *).

*) Statt dieses Beweises hätte auf den Satz Diff. Rechn. § 4, No. 5 verwiesen werdenkönnen,' wir haben es vorgezogen, einen selbständigen Beweis für den einfachsten Fall jenesallgemeinen Satzes zu geben und bemerken, dass der Gedankengang disses Beweises sich auchauf den allgemeinen Satz anwenden lässt. Vergl. u. A. Baltzer, Determinanten, § 12.

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