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Integralrechnung.

so ist die Verzweigungscurve

.* 2 — = 0 ,

besteht also aus den beiden Geraden, welche die Winkel der Achsen halbiren.

Bezeichnen g x , g 2> . . g n die verschiedenen Werthe, welche y' für einengegebenen Punkt x, y hat, so sind dieselben die Wurzeln der Gleichung.

!• p =(y — gi) (y — gt)--- cy — g *) = o-,

dieselbe gebe ausgerechnet

2. F = y '” -+- A u -\y' -+- A u = 0 .

Zwei Wurzeln y' dieser Gleichung fallen zusammen, wenn der Verein von

2. und der folgenden Gleichung besteht

oF

3. gy = ny'«~ 1 + (n — 1 )A 1 y'*-2 -+- . . A tl -\ = 0 .

Die Bedingung für den Verein von 2. und 3. erhält man nach SylvestersMethode, indem man 2. und 3. der Reihe nach mit y'"— 2 , y'*—\ . . . y' , 1 , bez.y'n-i, y'»— 2, . . . y, l multiplicirt, und aus diesen 2 n — 1 Gleichungen die lineardarin vorkommenden Grössen y'-"~ 2 , jr' 2 “ -1 , . . . y', 1 in bekannter Weise elimi-nirt. Man erhält

1 A ^ A 2 .... A n —\ A n

1 A l ... . A„—2 An —1 An

n(ti — l)^4jn

1 A x

(n — 2)A 2 .... An-i(n — l)A l . . . 2A„-2 A n - 1

A 2 • . . A n

= 0.

1 (n—\)A 1 . . . A„-i

Dies ist die gesuchte Gleichung der Verzweigungscurve.

!). Die Constante des allgemeinen Integrales einer Differentialgleichung I. O.sei für jeden Punkt der Ebene »-deutig bestimmt; ihre Werthe für den Punktx, y seien y,, 7,, . . Bildet man die Gleichung

_ (C-^XC-t,) . <C- T „) = 0.

so sind die Coefficienten eindeutige Functionen von x und y. Es giebt unzähligviele Punkte der Ebene, für welche zwei Wurzeln dieser Gleichung zusammen-fallen; die Curve dieser Punkte nennen wir die Verzweigungscurve des all-gemeinen Integrals.

Die Gleichung für C ergebe

<I> = C H H- a t O-i -+- a 2 O -2 -+- . . -(- x„ = 0;alsdann erhält man die Gleichung dieser Verzweigungscurve in Form einer ver-schwindenden Determinante, wenn man C nach Sylvester’s Methode aus

„ z/<l>

0 = 0 und -77; = 0 .dt

Diese Gurve hüllt entweder die Curven O ein und hat in jedem ihrer Punktemit einer der Curven O eine gemeinsame Tangente, oder sie enthält die Doppel-punkte des Curvensystems

0(ar ,y, C) — 0

(Differentialrechn. §11, No. 6).

Hieraus folgt sofort: Ist die Verzweigungscurve des allgemeinenIntegrales die Einhüllende der Curven O = 0, so genügt sie in allenihren Punkten der Differentialgleichung.