§ 24- Integration der Differentialgleichungen erster Ordnung mit zwei Veränderlichen. 829

Die Bedingung für das Zusammenfällen zweier Wurzeln y' bez. C,

x 2 — y' A = 0

ist das singuläre Integral.

E. Die Differentialgleichung

y - 2 + y7-~r

hat das allgemeine Integral

cp =

Are iane -- , - ( 2

y» v

Für die Verzweigungscurve

x — y = 0

ist y = 1 ,

während für die Punkte derselben aus der Differentialgleichung folgt

y = 2.

Daher ist in diesem Falle die Verzweigungscurve kein Integralder Differentialgleichung.

F. Hat die Differentialgleichung die Form

y = F -+- t/'F

wobei F und l F rationale Functionen von x und y sind, so ist ihre Verzweigungs-curve

ip = 0.

/ (y x.

xy ■— y

2x)

V 3-

Der aus dieser Gleichung folgende Werth von / stimmt im Allgemeinennicht mit dem aus der Differentialgleichung unter der Bedingung ( F = 0 folgen-den Werthe

y = F

überein; die Verzweigungscurve ist daher für Differentialgleichungen dieser Formim Allgemeinen kein Integral. Das vorige Beispiel bildet hiervon einen be-sonderen Fall. Ausnahmen bilden u. A. alle Differentialgleichungen, derenallgemeines Integral die Form hat2. f + = C ,

wobei f und <p rationale Functionen sindZu 2. gehört die Differentialgleichung

cx

y =

,L/.

Y r f

C<f

8 98 y

welche auf die Form 1. gedacht wird, indem man den Nenner rational macht.

§ 24. Integration der Differentialgleichungen erster Ordnung mit zwei

V eränder liehen.

1. Wir wenden uns nun zur Integration der Differentialgleichungen I. O.

Eine allgemeine Methode, durch welche die Herstellung des Integrals ingeschlossener Form geleistet oder auf gewöhnliche Integrationen zurückgeführtwerden könnte, giebt es nicht; wir müssen uns begnügen, eine Reihe von Fällenanzugeben, in welchen" die Integration ausgeführt werden kann, und schliesslichMethoden zu entwickeln, nach welchen das Integral in Form einer unendlichenReihe gewonnen wird.

Das Integral der Differentialgleichung Mdx 4- Ndy = 0 ist sofort gefunden,