§ 24. Integration der Differentialgleichungen erster Ordnung mit zwei Veränderlichen. 83

Aus der Bedingung yy r — <${y)

Mp =x +c.

B. Soll die Subnormale eine Function <p(x) der Abscisse sein, so istdie Differentialgleichung

yy' = ?(*)>

und daher die Gleichung der gesuchten Curve

y 2 = 2fy(x)dx -+- C.

C. Wird verlangt, dass die Subtangente eine Function <p(_y) der Ordi-nate ist, so hat man

y = ? (y)>

und daher das allgemeine Integral

I). Soll die Subtangente eine Function y(x) der Abscisse sein, so ist

y = ?(*)>

also

iy

_

-J <?(.*:

o

c.

E. Soll die Tangente eine Function der Ordinate sein, so ist

hieraus folgt

y

yy =

:> Y l +y 2 = 9(>)'»y

Das allgemeine Integral ist

V ? 2 — y 2 "

/

V ? 2 —.

- dy = x -h C.

F. Auf ähnliche, einfachste, durch Trennung der Variabein sofort zu inte-grirende Differentialgleichungen führen die Aufgaben. Eine Curve zu bestimmen,in welcher die Polarsubtangente, die Polarsubnormale, oder der Winkel zwischenTangente und Radius vector eine gegebene Function des Radius vector oder desPolarwinkels ist.

G. Soll das von einem Curvenbogen, der Abscissenachse einer festen Ordi-nate und der Ordinate eines laufenden Curvenpunkts begrenzte Segment einerCurve eine gegebene Function <p(y) der Endordinate sein, so hat man dieDifferentialgleichung

woraus folgt

ydx == <f'(y)dy,

J —yldy = x + C.

Wird verlangt, dass das Segment eine gegebene Function der Endabscissesei, so fuhrt die Aufgabe auf keine Differentialgleichung.

4. Wenn in der Gleichung

Mdx -+- Ndy = 0

M und N ganze homogene Functionen von x und y vom Grade n sind,so gelingt die Trennung der Variabein durch die Substitution y == zx.Da in jedem Gliede von M und N die Anzahl der variabeln Faktoren n ist, sofolgt, dass nach der Substitution M und N in Produkte von x n mit ganzen