§ 24. Integration der Differentialgleichungen erster Ordnung mit zwei Veränderlichen. 839

I. O. durch Aufsuchung eines integrirenden Faktors nicht lösbar; vielmehr wirdman umgekehrt die partiale Differentialgleichung 1. für im Wesentlichen gelösterachten, nachdem man ihren Zusammenhang mit dem allgemeinen Integraleeiner gewöhnlichen Differentialgleichung I. 0. erkannt hat, und hierauf werdenwir bei Gelegenheit der partialen Differentialgleichungen zurückkommen.

Doch bleibt trotzdem das Studium der integrirenden Faktoren auch fürdie Integration von Differentialgleichungen I. O. von hoher Bedeutung; dennalle Integrationsmethoden lassen sich auf die eine Methode, einen integrirendenFaktor zu bestimmen, reduciren, — und indem man umgekehrt von bestimmtenFormen integrirender Faktoren ausgeht, kann man Gruppen integrabler Differential-gleichungen aufstellen. Wir werden später hierzu Beispiele geben.

17. Dem allgemeinen Integrale einer Differentialgleichung I. O. kann manunzählig viele verschiedene Formen geben. So hat z. B. Sx 2 dx -l- 'iydy = 0das allgemeine Integral x 3 -h y 2 = C; dasselbe kann aber auch durch

(x 3 -+-y 2 )" — C , lix 3 + y 2 ) = C , sin(x 3 +j v 2 ) = C u. s. w.

ersetzt werden. Diesen verschiedenen Formen des Integrals entspringen ver-schiedene Formen des integrirenden Faktors; wir wollen nun nachweisen, wieman aus einem integrirenden Faktor die allgemeine Form finden kann, unterder jeder integrirende Faktor derselben Gleichung enthalten ist.

Ist v ein integrirender Faktor von

1 . Mdx -+- Ndy = 0,so ist

2. vMdx -t- vNdy = dp ,

und 9 = c ist das allgemeine Integral der Differentialgleichung.

Multipliciren wir 2. mit einer willkürlichen F’unction von ep, so erhalten wirvF(p)(Mdx + Ndy) = F(p)dp .

Hierin ist die rechte Seite das vollständige Differential von

J'F(<f)d<f,

also ist auch die linke Seite ein vollständiges Differential, mithin ist vF{ 9 ) einintegrirender Faktor von 1. Wir haben daher: Ist» ein integrirender Faktorder Gleichung Mdx -+- Ndy = 0, und 9 = t das allgemeine Integral,so ist das Product aus v und einer willkürlichen Function von 9ebenfalls ein integrirender Faktor.

Es sei nun ausser v auch V ein integrirender Faktor; um nachzuweisen,dass V = vF(p), zeigen wir, dass der Quotient V\v eine Function von 9 ist.Die nothwendige und ausreichende Bedingung hierfür ist das Verschwinden derDeterminante

R =

d{V: v)

<79

dx dy dy

Differenzirt man rechts die Quotienten, so entsteht

d(V: v)

0 9dx '

v 2 R

e v (h . _ v (\

dx dx dy) \

r d<f c V\dy dxNach der Voraussetzung ist

(8 9

Jy

cv8 x

h

ix

— = Nv,dy

dtp

d^c ~ Mv ’

und daher

vR

^ v^N

dV

,r dV

M

öy

)- v {*

dv

dx

M-

Nach No. 16, 1 ist nun

dv

Ty,

)■

)■