§ 24- Integration der Differentialgleichungen erster Ordnung mit zwei Veränderlichen. 84
20. Wir gehen nun auf einige besonders einfache Fälle ein.Setzen wir y = x, bez. <p =s y, so entseht
dM dN dN dM
* =
dy
cx
bez.
( x
dy
M
N ’ Y1 M
Soll also der integrirende Faktor eine Function von x allein bez.von allein sein, so muss
(dM cN\ „ r , (dN cM\dx) ez ' dy)
eine Function von x, bez. von_y sein.
A. Bedeutet X eine F'unction von x allein, so ist bei der Gleichung(X + 3 axy + dy*) dx -+- (ax 2 -1- bxy) dy = 0
IcM dN\ _ _ . ax H- by _1^
^ dy dx) x(ax 4- by) x'
also ist der integrirende Faktor eine Function von x.
Durch Multiplication mit x erhält man
xXdx + d(ax i y -t- \bx 2 y 2 ) = 0 .
Hieraus folgt das allgemeine Integral *
b
ax 3 y
- x 2 y 2
-/
xXdx = C.
P ,
B. Bei der linearen Gleichung
y + Py - Q = 0
ist M = Py — Q, N = 1, und daher
V oy ° x )
folglich ist auch hier der integrirende Faktor eine Function von x allein. ZurBestimmung des Faktor haben wir aus 2.
d -^r = Pdx,
F
JPdx
also ist F = e
Um das allgemeine Integral zu erhalten, bilden wir zunächst (No. 14.)
- [Pdx [Pdx
jMFdx = J(Py — Q)e dx = y e
~ [Pdx
— fQ e dx .
Ferner ist
NF
~ II
MFdx = 0.
Daher folgt für das allgemeine Integral
/Pdx
(Pdx
dx = c
ye — fQein Uebereinstimmung mit No. 8.
21. Der integrirende Faktor ist eine Function des Produkts xy, wenn
dM dN
dy dx
^ 355 Ny — Mx
eine F'unction von xy ist.
Beispiel. yF(xy)dx 4- xG(xy)dy = 0.
Hier ist M=yF(xy), N = xG(xy) , und somitx y[F'(xy) — G'(xy)] 4- Fjxy) — G(xy)
xy[G{xy) F(xy)\
+ =
ll