§ 24 ' Integration der Differentialgleichungen erster Ordnung mit zwei Veränderlichen. 843

l. Qdx -+- Rdy -+- S(xdy — ydx) = 0,

worin Q, R und S homogene Functionen sind, und zwar Q und R vom Grade

m, S vom Grade «, bestimme man einen homogenen integrirenden Faktor vomGrade — n — 2 für die Gleichung Qdx -+- Rdy = 0. Giebt man der Differential-gleichung die F'orm

Qdx - 4 - Rdy — = 0,

so erkennt man sofort, dass dieser Faktor die linke Seite in die Summe zweiervollständigen Differentiale verwandelt.

In die Form 1. lässt sich die Gleichung(A -+- A'x -+- A"y)(xdy — ydx) — (B -+- B'x -t- B"y) dy + (C -+- C'x -+- C"y) dx = 0durch eine geschickte Substitution bringen.

Setzt man nämlich

•*=£ + «, y — 1 j + P,so erhält man eine trausformirte Gleichung von der Form

(a\ -+- «’r/) — r t df) — (J>\ + b' t\) di\ + (<r$ c’v\) d\ = 0,

wenn a und [1 die Bedingungen erfüllen

a(A + A'a + A"f) — {B-y- B'a ■+■ B"f) = 0— $(A + A'a + A"f) + (C + Ca + Cf) = 0.

Wir schreiben hierfür

Ä a

A" 8 =

B + BaA-B"§ C + C'd + C"p

Setzen wir den gemeinschaftlichen Werth dieser drei Ausdrücke = X, soergiebt sich

A — X + A'a + A"$ - 0,

B -+- {B — X)a + B'§ = 0,

C + Ca -+- (C" — X)? = 0.

Der Verein dieser Gleichungen wird durch das Verschwinden der Determinantebedingt

I A — X A' A"

\ B B' — X B" =0.i c C C" — X

Hat man eine Wurzel X dieser cubischen Gleichung gefunden, so ergebensich a und ß z. B. aus

A - X A'a -+- A"$ = 0 und B + (B< — X) a -+- B"$ == 0 .

24. Die bisher integrirten Differentialgleichungen I. 0. sind vom erstenGrade, d. h. sie enthalten nur die erste Potenz von y'. Wir geben nun einigebesondere Regeln, welche bei der Integration von Differentialgleichungen vonhöherem Grade zu beachten sind.

Zerfällt die Gleichung

F(x,y, y') ss A 0 y' H -+- A^y' H ~~^ + A^y ’ n ~2 —f— « . —t— A u —iy' -+- A„ = 0,in welcher A 0 , A v . . . A n eindeutige Functionen von x und y bezeichnen, inein Produkt von Functionen minderen Grades von y', deren Coefficienten ein-deutige Functionen von x und y sind, so zerfallt die Differentialgleichung inebenso viele einzelne Gleichungen, die dadurch hervorgehen, dass man die ein-zelnen Faktoren gleich Null setzt.

Gelingt es, F(x, y, y') in rücksichtlich y' lineare F'aktoren zu zerlegenF - A 0 (y' -A) Cf’ —/ a ) . . . —/») = 0,