§ 24. Integration der Differentialgleichungen erster Ordnung mit zwei Veränderlichen. 847

29. Die Gleichung

1.

y — 2xy' = y'f(yy')r 2 — 2yy' ■ x — yy' • f(yy') ■

liefert mit y multiplicirt

2. y*

Substituirt man y 2 = z, so ist 2yy' = z', und es ergiebt sich

2 — xz' = iz'ffäz'),

also eine CLAiRAUT’sche Gleichung. Das allgemeine Integral von 1. ist daher

3. y 2 = 2Cx -h Cf(C),

das singuläre folgt durch Elimination von y' aus 1. und aus

4.

1 + y

. d S(yy') = o ;

d(yy')

wie man leicht erhält, wenn man die an die Stelle von No. 28, 4 hier tretendeGleichung durch 1. reducirt.

30. Die Aufgabe: Die Curve zu bestimmen, bei welcher die Normaleeine gegebene Function f der von der Normalen auf der X-Achseabgeschnittenen Strecke ist, führt auf die Differentialgleichung

1 .

y j/i

-y

'2

: f(x + yy').

so ist

Führt man statt y eine neue abhängige Variable r durch die Substitution ein

r 2 = x 2 -+- y 2 ,rr' = x -4- yy',

y' = — (rr'

y V

• x), 1 y- y" 1 -

r‘ r

' 2 — 2x

rr'

r 2 — x 2

Daher ergiebt sich aus 1.

2. r 2 -t- r 2 r' 2 — 2 xrr' — [f(rr')] 2 -

Hieraus folgt die neue Differentialgleichung

rr

diese ist von derselben Form, wie No. 29, 1.

31. Denkt man sich die Gleichung1 . ?(•*,.)',/) = 0in Bezug auf y' aufgelöst, so erhält man ein Resultat von der Form

2. dy — y'dx = 0 ,

worin man y' aus 1. zu substituiren hat. Man kann nun versuchen, einenintegrirenden Faktor F als Function von x, y, y' so zu bestimmen, dass

3. F ■ (dy — y' dx) — 0

unter der Voraussetzung 1. ein vollständiges Differential wird. Das allgemeineIntegral von 1. wird alsdann durch Elimination von y’ aus 1. und aus

fF ■ (dy — y'dx) = C

erhalten, wenn man mitJF-(dy — y'dx) eine Function bezeichnet, deren voll-ständiges Differential F ■ (dy — y' dx) ist.

Ist 3. ein vollständiges Differential, so sind die Bedingungen erfüllt8F cF dy' , dF , 8F dy' dy'

dx dy' dx ^ dy ^ dy ' dy dy

Die Differentialquotienten

dy' dy'dx ’ dy

sind aus 1. z.u berechnen. Nun ist für jede Verschiebung des Punktes x, y ent-lang einer Integralcurve