§ 24. Integration der Differentialgleichungen erster Ordnung mit zwei Veränderlichen.

84$

also ist

f •/

xy

X yy yy

Vi

■y

/2

1

-yy"

Wird dies in 3. eingesetzt, so erhält man

p _ — (x yy') ycy' — 1 y' 2 -hyy" 'Hieraus und aus 2. folgt sofort

1_ fd_f t 89 \ _ 1 -+■ y 2

’’ 2 ‘ dy'J y'(x -hyy')

Da nunso ist

Hieraus folgt

y

d(x -\-yy')dy

1

y

yy

_L . f d l.

y 2 \ cx * ^yy ^

’x -+- yy') .

1

G =- ,

* -+- .yy

Man hat nun das Integral zu bestimmen

Man erhält zunächst

/;

’ 4 y — y’dx =

y(at+>y)

c

-/■

.yrfy +_j>y • d(yy') fax -t- d(yy')

yy'(x-hyy')

= - /(*+>y) •+■ 2 yy

ar +X>'

2 (i +y 2 )]

(x-hyy')

Setzt man zur Abkürzung

so folgt hieraus

Da nun

so folgt aus 1.

y y 1 -t-y 2 = a,

C u

C = — l(x -hyy) -+- / — rr~

' J yy ( x

yy'(x -hyy') = a 2 +

ar/a

J7') 'a ( xy' — y)

7 TT?*’

yy'(x-i-yy 1 ) = a 2 + a/(a).Daher hat man schliesslich

du

C = — l(x - 1 -yy') + /-

a -+- /(a)'

Das allgemeine Integral der gegebenen Differentialgleichung ergiebt sichdurch Elimination von y' aus 1. und 5.

34. Die Curve zu bestimmen, bei welcher das vom Nullpunkteauf die Normale gefällte Loth eine gegebene Function des Radiusvector ist.

Die Differentialgleichung des Problems ist

yy'

1 .

9 =/(* 2 - hy *) — -

Hieraus folgt

ct p

1/1 -t-y :

y

- 0 .

, = 2 yf — ,-,

cy ■ yj y 1 +y 2

89 _ xy ' —ycy' ~ n +

(i +y 2 )

Schloemilch, Handbuch der Mathematik. Bd. II.

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