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Integralrechnung.
Das allgemeine Integral dieser Gleichung lässt sich als Quotient zweierPotenzreihen hersteilen. Macht man nämlich die Annahme y — t| i(x):<f(x),indem man unter und 9 zwei Potenzreihen versteht, so erhält man aus 2.
9<J/ — <^ 9 ' -+-
Nimmt man ip = 9 ', so vereinfacht sich diese Gleichung zu
9 " = ~{(fX'".
Hierin ersetzen wir 9 durch A 0 -+- A x x -+- A 2 x 2 -h . . . und erhalten1 • 2 • A 2 -+- 2 • 3A 3 x + 3 • 4 A 4 x 2 -+- . .. = i(A 0 x m -t- A 1 x m + 1 -+- A. 2 x m+ 2 -+- ..).Hieraus folgen die Gleichungen
A 2 — A g — A£ — . . — A m - f_r — 0.
(m ■+■ l)(m 4 - 2)A m +2 = 'l^o » ( m + 2)(w -+- 3)A,„ + s = •(A 1 ,A 5 =: ■ * ~ A-2m^r‘\ ~ 0,
(2 m -+- 3)(2»/ -+- 4)^2»r+4 = -(A m+ 2, (2 m -+- 4)(2m -l- 5)^2w+r> =
A-)„> . f; = Aoni-^'J = ■ - = -‘4&W+5 ==
Setzen wir abkürzungsweise
x m+ 2 -+-
(m -+- 1 )(m -+- 2 )
(m + 1) (m -(- 2) (2 m -+- 3) (2 »* -+- 4)
(/« -+- 2) (m 4 - 3) (2 m + 4) (2 m -t- 5)
(m -+- 2)(m -+- 3)
so ergiebt sich
A 0 U + A x V,
. x %n+ 5 4 - . . ,
daher ist, wenn der willkürliche Quotient A t : A 0 mit c bezeichnet wird, dasallgemeine Integral der RiccATi’schen Gleichung
U' -+- cV
y =
U + cV ■
38. Trajectorien. Eine Curvengleichung 9 (x,y, c) = 0 enthalte eine will-kürliche Constante c\ giebt man derselben nach einander alle möglichen Werthe,so wird ein System von unendlich vielen Curven erzeugt. Eine Curve, welchealle diese Curven unter demselben Winkel schneidet, wird als Traj ectorie desCurvensystems bezeichnet. Der einfachste Fall tritt ein, wenn die Trajectoriedie Curven der Schaar orthogonal schneidet, eine Orthogonalcurve derSchaar ist.
Für irgend einen Punkt x, y der Curve
1 . f(x,y, c) = 0
bestimmt sich die Richtung der Tangente aus der Gleichung
dx -t-
daher folgt für die diesen Punkt enthaltende Orthogonalcurve
£9 d<?
cy ' dx '
Eliminirt man c aus den Gleichungen 1. und 2., so erhält man dieDifferentialgleichung der Orthogonalcurve; wie man sieht, ist dieselbe von derersten Ordnung.
39. Für eine Orthogonalcurve von
ergiebt sich zunächst
m~[x m