§ 25. Differentialgk ichungen höherer Ordnung mit r.wei Veränderlichen.

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Zu 3. gehört das allgemeine Integral (§ 24, No. 8)fi. y — cx -+- 2 y y/x]

diese Gleichung giebt nach x differenzirt

7. / = C ■+■ j- r.

yx

Eliminirt man y aus (>. und 7., so folgt

8. 2 xy' — y = cx ,

und diese Gleichung ist das andere allgemeine erste Integral von 5.

4. Eliminirt man aus dem allgemeinen Integrale y(x,y, c t , c 2 ..£*) = 0 einerDifferentialgleichung «ter Ordnung und aus der durch einmalige Differentiationabgeleiteten Gleichung cp, = 0 eine Constante. so erhält man eine Differential-gleichung I. O. mit (n — 1) Constanten; wie man sofort sieht, ist dieselbe einallgemeines (//— l)tes Integral der gegebenen Gleichung. Da man nun jede dern Constanten eliminiren kann, so ist ersichtlich, dass man n allgemeine ( n — l)te In-tegrale erhält.

Differenzirt man ein solches ( n — l)tes Integral und eliminirt man aus demResultate und aus der ursprünglichen Gleichung eine weitere Constante, so erhältman ein allgemeines (« — 2)tes Integral u. s. w.

Eliminirt man zwei Constante aus

d<p d 2 cp

9 = 0 ’ dx = ° ’ dx* = ° ’erhält man ebenfalls ein allgemeines (n — 2)tes Integral.

Man erkennt leicht, dass es nicht zwei verschiedene (n — 2)te allgemeineIntegrale geben kann, die dieselben (n — 2) willkürlichen Constanten enthalten.Denn gesetzt

^(x,y,y\y" c x , c 2 . . 0 ,- 2 ) = 0und -/(; x,y,y',y", c it c 2 . . Cn-i) = 0

wären wesentlich verschieden, so dass also eine dieser beiden Gleichungen nicht

eine nothwendige Folge der andern wäre,so erhält man

d ± = n d l±

dx ' dx 2

Difl'erenzirt man die erste Gleichung,

<!» = 0 ,

= ü

d n ~

dx n ~%

= 0 ,

und diese (n — 2) Gleichungen enthalten die Grössen x, y,y' . . .y(“— b, c x , c 2 , c s■ . c n . Fügt man hierzu noch die Gleichung •/ = 0, so kann man aus diesenn — 1 Gleichungen die Ck eliminiren, und behält eine Gleichung zwischenx, y,y',y", ■ ■ y("—V übrig, im Widerspruche damit, dass ein allgemeines(n — 2)tes Integral durch jedes System von x, y, y' . . . y«- 1 ) muss befriedigtwerden können.

Man erhält somit dasselbe allgemeine (n — 2)te Integral erstens, indemman c,■ und Ck aus <p = 0, tp 1 == 0 und <p" — 0 eliminirt; zweitens, indem man c,-aus y = 0 und tp' = 0 eliminirt, die Resultante cp, = 0 differenzirt und Ct auscp, = 0 und cp/ = 0 eliminirt; drittens, indem man aus cp = 0 und cp’ = 0eliminirt, die Resultante cp/, = 0 differenzirt, und c, aus y/, — 0 und = 0eliminirt.

Aehnlich, wie den Satz, dass es nicht zwei verschiedene allgemeine (n — 2)teIntegrale mit denselben (n — 2) willkürlichen Constanten giebt, beweist man, dasses nicht zwei (n — k)te Integrale mit denselben (n — k) willkürlichen Constantengeben kann.

Hieraus schliessen wir weiter, dass es soviele (n — k) te verschiedene Integrale