§ 25. Differentialgleichungen höherer Ordnung mit zwei Veränderlichen.

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Hier setzen wir wieder y" — y' dy' : dy und erhalten

y dy' dy

1 + y

,,'2

y

daher ergiebt sich ein erstes allgemeines Integral

Mi +y*) = «/(£),

woraus folgt

/ =

y y 2n _ (ß,C«

x = c * [-J yy« - c-2

c,

Für n — — 1 ergiebt sich ein Kreis, dessen Centrum auf der Abscissen-achse liegt; für n = 1 eine Kettenlinie; für n = — ^ eine Cycloide; fürn = \ eine Parabel.

D. Soll der Krümmungshalbmesser eine gegebene Function cp derAbscisse sein, so hat man

(i + y 2 )^ = y’cpO).

Hieraus folgt

C dy' C dx

J i/iT+y 2 ) 2 — ?

i/(i h- -y 2 ) 3 J ?(*)'

Die Integration links kann man ausführen und erhält

y C dx

~J <?( x )

c.

yi + y 2

Wird das Integral rechts zur Abkürzung mit X bezeichnet, so ergiebt sich, X+C

y =

und hieraus folgt schliesslich

y

y i — (x+ o 2 ’

J vT —

(X+C)

yr ~( x + Q 2

ff* -t- Cj *).

8. Lineare Differentialgleichungen. Unter einer linearen Differential-gleichung «ter Ordnung versteht man eine Gleichung von der Form

d n y d 11 ~ ly

dx n ix“ -1

X,,

d>l—ly

X K -i % + X„y = X,

Xiy -j- o X n y = 0 ,

2 dx”—* 1

wobei ^T 1( X 2 . . . X n , X Functionen von x allein sind. Die Gleichung

9 eTy

dx“ 1 ff*" -1 ^ ^ 2 ff*" -2die aus 1. hervorgeht, wenn man X = 0 setzt, wird als reducirte lineareDifferentialgleichung bezeichnet. Wir betrachten diese zunächst. Für dieselbengilt folgender Satz:

Wenn eine reducirte lineare Differentialgleichung die particulären

Integrale hat

y = y\, y=yn> y=y 3 >--y=y*’

so wird ihr auch durch die Function genügt3. y = c i y 1 -h c 3 y 2 -t- c 3 y 3 4- . . . ■+■ c k y k ,

wobei c x , c 3 . . . Ck willkürliche Constante sind.

Denn setzt man 3. in 1. ein, und fasst die Glieder zusammen, die mit dem-selben c multiplicirt sind, so erhält man

‘) Weitere Beispiele findet man u. A. in Schloemilch, Compendium, i. Bd., Cap. XVIII.