§ 25- Differentialgleichungen höherer Ordnung mit zwei Veränderlichen.

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man der Gleichung durch einen variabeln Werth von c genügen kann. Ersetzenwir c durch z, setzen also y = zr\, so haben wir die höheren Differentialquotientendes Produkts zi) nach den bekannten Regeln der Differentialrechnung zu bildenund diese entwickelten Werthe in die Differerentialgleichung einzusetzen. Wirerhalten dann eine Differentialgleichung, welche keinen höheren Differential-quotienten von z enthält als z('d. Die Glieder, welche z enthalten, sind(r|W 4- X 1 rf n ~ 0 -t- X^rf 1 ‘~ 2 ) . . 4 - X n —\rl 4 - X n r^ z )

da nun rj ein particuläres Integral ist, so verschwindet der Klammerinhalt, unddie Differentialgleichung für z ist somit von der Form

zM -p /’*(«-!) 4- Q z(«—2) 4 - ... 4- Tz" 4- Uz' = 0 .

Setzt man hier

dz

dx

v, also z

=/

vdx ,

so erhält man für v die Gleichung

zX"-i) 4 - Pv C«— 2 ) 4 - (?»(«—3) 4 - . . 4 - TV 4 - Uv = 0,also in der That eine Differentialgleichung (« — l)ter Ordnung.

Hat man das allgemeine Integral dieser Gleichung, so wird zu den (n — l)willkürlichen Constanten desselben durch die Integration

z = fvdx

noch eine hinzugefügt, und es ist daher

y =

das allgemeine Integral der gegebenen Gleichung.

12. Dieser Satz führt zunächst dazu, eine reducirte lineare Differential-gleichung II. O. von derForm No. 9 oder No. 10 allgemein zu integriren,wenn die Gleichungen für X und p gleiche Wurzeln haben.

Bei der Gleichung

1. y" — 2 ay' 4- (fiy = 0

ergiebt die Substitution y — e Lx für X die Gleichung

X 2 — 2 al 4- <z 2 = 0,

also zwei zusammenfallende Wurzeln X = a. Macht man nun in 1. die Sub-stitution

y = ze nx ,

so erhält man für z die Gleichung

z" = 0, also z = C^x 4 - C.

Folglich ist das allgemeine Integral der vorgelegten Gleichung

y _ e «*(C l I+C).

Setzt man ferner in die Gleichung

y + -y +

y = i+x, so erhält man für p

p 2 — (1 —d) p

( l -«) 2

4x 2

= 0, also p

1

4 — " ’ r 2 '

Um das allgemeine Integral zu erhalten, haben wir zu setzen

1 —a

' y = ZX i

und erhalten

_ a -hl 1 — a

z' • x 2 4- z" ■ x 2 =0, oder z' 4- xz" — 0 .Hieraus folgt v = C : x und z — Clx 4 - C,; daher ist

1 —a

y = x 2 (Clx 4 - Cj)

das allgemeine Integral der gegebenen Gleichung.