27. Partiale Differentialgleichungen erster Ordnung.

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Daher ist

2 m '2

-I- r 2 cp

xy> — yx' = r 2 p’ .

Ist df der verschwindend kleine Sector, den der Radius /* in der Zeit dtbeschreibt, so ist 2 df ■= r 2 d<f, daher folgt aus 13.

d£ _ c_

c

f =s 2 t+C -

dt 2 ’

Die vom Radius vector des Punktes beschriebenen Flächen sinddaher den hierbei verflossenen Zeiten proportional.

Setzt man zur Abkürzung

Jf(r)dr = U,

und führt auch in 11. Polarcoordinaten ein, so entsteht13. r' 2 4 - r 2 <p’ 2 = 2 U + h.

Nach 12. hat man r 2 y' 2 — c 2 :r 2 , daher folgt aus 12.

2 77 4 - h

hieraus ergiebt sich

und aus 14. und 12,cdt

2U + h

edr

YiU + A-fy

Durch diese Gleichungen ist das Problem vollständig gelöst; insbesonderegiebt die letzte Gleichung die Bahn, welche der Punkt beschreibt; die Gon-stanten h, c, fj und 7 2 bestimmen sich in jedem gegebenen Falle aus derAnfangslage, der Anfangsgeschwindigkeit und der Anfangsrichtung des Punktes,Setzt man nämlich fest, dass zur Zeit t = 0 die Grössen r , 9 , v die Werther 0 , <p # , v 0 haben sollen, und dass zu dieser Zeit die Bahn mit dem Radius r 0den Winkel a bilden soll, so erhält man durch Einführung der Werthe r 0 undv 0 in 11. und 14. die Constanten h und 7 ^ Berechnet man aus der Bahn-gleichung 15. den Winkel a der Bahntangente gegen den Radius vector, fürwelchen man hat

16.

und setzt in 15. und 16. r = <p = <p 0 , s = a, sowie den vorher gefundenenWerth von h, so erhält man c und durch die Anfangszustände ausgedrückt.

§ 27. Partiale Differentialgleichungen erster Ordnung.

1. Unter einer partialen Differentialgleichung versteht man eineGleichung zwischen unabhängigen Variabein, abhängigen Variabein und den par-tialen Differentialquotienten der letzteren. Wir beschränken uns auf Gleichungenmit einer abhängigen Variabein.

2. Wenn eine partiale Differentialgleichung nur partiale Differentialquotientenrücksichtlich einer unabhängigen Veränderlichen enthält, so bietet sie nichtswesentlich Neues; sie ist zu integriren, als ob die übrigen Variabein Constantewären; die Integrationsconstanten sind durch willkürliche Functionen der übrigenunabhängigen Variabein zu ersetzen.