Cap. IV. Ueber die Function.

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es gehören ihm keine an, tertium non datur. Der Empiriststösst dagegen anf Bedenken, die sein Argumentbegriff er-zeugt, indem die vollständige Pantachie der gleichzeitig vor-handenen Argumentwerthe, und der ihnen zugeordneten, ihrerGrösse nach vergleichbaren Functionswerthe für ihn nichtexistirt. Doch hilft über diese Bedenken die im Anfang diesesCapitels hergeleitete empiristische Beschränkung des allge-meinen Functionsbegriffs hinweg. Der Empirist kann ebenkeinen allgemeineren zu Grunde legen. Lässt man es bei demempiristischen Functionsbegriff bewenden, so ist unsere Be-hauptung gleichfalls unanstössig. Denn eine empiristischeFunction besteht aus Vorschriften, die für einzelne abzahlbarePunctmengen des Arguments gelten und aus einer allgemeinenVorschrift für den Rest der vollständigen Argumentpantachie.Betrachten wir zuerst diese letztere allgemeine Vorschrift,ohne die ausgenommenen Puncte zu berücksichtigen. Wieman sich diese Vorschrift auch denken mag, analytisch oderzahlentheoretisch, sie muss doch in der Idee gestatten zu ent-scheiden, ob die Relationen

n < f(cc) + 1, a < x b,zusammenbestehen können oder nicht. Dies ist das logischeResiduum der Frage, die empiristisch unumgängliche Voraus-setzung. Was die ausgenommenen abzählbaren Vielheitenvon Functionswerthen betrifft, so hat es bei ihnen stets einenguten Sinn von einer oberen und einer unteren Grenze ihrerWerthe zu reden, wie aus der im folgenden Capitel vorzu-tragenden Lehre von den Unbestimmtheitsgrenzen folgt. Al-lein für den gegenwärtigen Beweis brauchen wir nur auf dieEvidenz uns zu berufen, dass die Einzelwerthe einer belie-bigen Folge stets endlicher Grössen eine vorgelegte Grösseentweder einmal übersteigen oder nicht.