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PREMIERE PARTIE.

N. B. —Il importe de remarquer qu’on obtient une progres-sion unique arithmétique ou géométrique en insérant res-pectivement un même nombre de moyens arithmétiques et demoyens géométriques entre les termes consécutifs de l’une etl’autre progression.

5. Soit un système de deux progressions, l’une géomé-trique ayant un terme égal à l’unité, et l’autre arithmétiqueayant un terme égal à zéro, quelles que soient d’ailleursleurs raisons :

(i)

O . ..

- U’.q'.qKq 3 q m+n •••

3r.— 2 î\— r. o.r.2r.3r...mr...nr...(m+n)r... •

si l’on convient de les faire correspondre terme à terme, et detelle sorte que zéro réponde à l’unité, on nomme logarithmed’un terme de la progression géométrique le terme correspon-dant de la progression arithmétique.

Ainsi,

log q m+n =:{m+n)r

par définition ; mais cette égalité peut s’écrire :

log ( q m X q n ) = mr+ nr,ou

log (q m X q n ) = log q™ H- log g",

donc le logarithme du produit de deux termes de la progres-sion géométrique vaut la somme des logarithmes de ces deuxtermes : telle est la propriété fondamentale sur laquelle le lec-teur doit fixer son attention.

Nous nous bornerons ici aux remarques suivantes :i° On conçoit une infinité de systèmes de progressions assu-jetties comme celles du système (i) aux conditions ci-dessusénoncées, et par suite une infinité de systèmes de logarithmes.

2 ° Dans ces systèmes de progressions un nombre positifquelconque a peut être considéré approximativement commeappartenant à la progression géométrique, puisque celle-cis’étend de zéro à l’infini, et que l’on peut obtenir en insérantm moyens géométriques entre ses termes considérés deux àdeux, une progression unique, dont deux termes consécutifsdiffèrent d’une quantité moindre que toute grandeur donnée;