GRAMMAIRE ET LOGIQUE DES MATHÉMATIQUES. 131

, . . p + g p —g

sin p -+- sin g — 2 sin ' -2 cos - - - ,

2 2

p -f- g . p — g

sin p — sin g = 3 cos £-2. S m -- ,

22

, p-f-g p —g

cos p 4- cos g=2 cos -f cos - L »

22

. p -f- g . p — gcos g — cosp —2 sin - 1 sin - ■ - ' •

N. B.— Ces quatre dernières formules permettent de changeren un produit la somme ou la différence de deux sinus etde deux cosinus. Si l’on avait à transformer en un produitsin x -+- cos x , par exemple, on remplacerait cos a; parsin (90°— x), et l’on aurait :

sin x -t- cos x — sin x -1- sin (90 — x) =. 2 sin 45 cos ( 45 — x}.

La nécessité de ces transformations dans les calculs trigo-nométriques provient de ce qu’on opère sur les logarithmesdes quantités sinus, cosinus, etc., et non sur ces quantités elles-mêmes.

7 . La table des logarithmes des sinus et tangentes de secondeen seconde pour les cinq premiers degrés, et de dix en dixsecondes pour tous les degrés du quart du cercle s’obtient encalculant d’abord les sinus naturels.

Pour cela, on prend l’arc de 10" pour'le sinus même de cetarc, ce qui donne, avec treize décimales exactes :

Sin 10 -Tfex V x6 =0,000048481 (*)....

d’où l’on déduit cette valeur très-approchée :

cos 10" = 0,99999999882.(”).

(*) On démontre que la différence entre un arc et son sinus est moindreque le quart du cube de l’arc, quand celui-ci est plus petit qu’un quartde cercle, d’où il suit que la différence entre l’arc de 10" et son sinus estmoindre qu’une unité décimale du treizième ordre.

C') On démontre que celte quantité est donnée par la formulearc 10")*

cos10"=1 ■

avec dix-huit décimales exactes.