GRAMMAIRE ET LOGIQUE DES MATHÉMATIQUES. J 57

On nomme proposition l’énonciation d’un jugement vrai oufaux.

On nomme théorème une proposition vraie, mais qui a be-soin d’être prouvée.

Ainsi, tout théorème est une proposition, mais toute propo-sition n’est pas un théorème.

Une proposition est composée de deux termes : l’hypothèseet la conclusion.

Ex. : Quand deux angles sont égaux dans un triangle lescôtés opposés à ces deux angles sont eux-mêmes égaux.

Voilà une proposition dont les deux termes sautent aux yeux,et dont voici la réciproque :

Quand deux côtés sont égaux dans un triangle, les anglesopposés à ces deux côtés sont eux-mêmes égaux.

On voit que les deux termes de l’une des deux propositionssont les termes de l’autre, renversés.

Toutes les réciproques ne sont pas vraies. Par exemple, sideux angles sont droits, il s’en suit qu’ils sont égaux; mais dece que deux angles sont égaux, on ne peut pas conclure qu’ilssont droits.

Il ne faut jamais perdre de vue pendant la démonstrationl’hypothèse et la conclusion de la proposition qu’il s’agit d’é-tablir. Les esprits distraits feront bien de les écrire, en souli-gnant la première, avant de commencer la démonstration.

11 importe d’énoncer dans les mêmes termes une proposi-tion et sa réciproque.

Nous devons dire, par exemple :

Si deux angles adjacents ont les côtés extérieurs en lignedroite, ils sont supplémentaires.

Réciproquement : Si deux angles adjacents sont supplémen-taires, ils ont les côtés extérieurs en ligne droite.

Les élèves qui commencent l’étude de la géométrie com-prennent aisément ces deux théorèmes ainsi énoncés, et il n’va pas de confusion possible.

En général, l’objet du raisonnement est de démontrer lavérité ou de la découvrir, suivant qu’il s’agit d’un théorème oud’un problème, d’une propriété à établir ou d’une recherchequelconque.

Chaque branche des mathématiques peut être considérée