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PREMIÈRE PARTIE.

comme une chaîne dont les théorèmes sont les anneaux. Ceux-ci doivent être au complet, solidement fixés et de bon aloi.

En mathématiques, comme ailleurs, on peut avoir à démon-trer la fausseté d’une proposition.

Pour prouver qu’une proposition est fausse, il suffit d’en tirerune conséquence qui le soit, car la vérité ne conduit jamais àl’erreur quand le raisonnement qui lie la conclusion au prin-cipe d’où elle découle est conforme aux règles de la logique;mais suffit-il, pour établir la fausseté d’une proposition, demontrer par le calcul qu’elle résulte d’une proposition erronée?Non, car on peut arriver à la vérité par un accident de calcul,bien qu’on soit parti de l’erreur.

Ex. cirR = aRx3, cirR^aR'xd;

voilà deux égalités inexactes qui, divisées membre à membre,donnent

cirR__oRx3 cir R _R

cir R' 2 R'x 3 011 cir R' R'’proposition vraie.

On voit que notre erreur volontaire a disparu avec le fac-teur 3 qui la comporte.

III

Les principaux modes de démonstration employés dans l’é-tude des mathématiques sont :

La réduction à l’absurde, la méthode des limites et celle desinfiniment petits.

La méthode dite réduction à l’absurde ne s’applique pas auxchoses en elles-mêmes; c’est une démonstration indirecte quiconsiste à prouver qu’une chose est ce qu’elle est parce qu’ilserait absurde qu’elle fût autrement.

Ainsi, pour démontrer, par exemple, qu’on ne peut menerqu’une perpendiculaire sur une droite d’un point pris hors decette droite, on suppose qu’on en peut mener deux, et parun raisonnement basé sur cette hypothèse on arrive à cetteconclusion : d’un point à un autre il y a deux lignes droites.

Cette absurdité résulte évidemment de l’hypothèse, puisquel’on a bien raisonné ; donc cette hypothèse est inadmissible :