EXERCICES ET PROBLÈMES DIVERS. 169

en divisant successivement a, b et c par d; il vient en dési-gnant les trois quotients respectifs par q, q' et q";

a = d . q-\-r, b = d. q* -i-r 1 , c = d . q" -f- r".

Ces trois égalités montrent que tout diviseur commun auxquatre nombres a, b, c, d est aussi commun aux quatre nom-bres r, r',r", d et réciproquement; donc le plus grand com-mun diviseur de ceux-ci est le même que le p . g . c . d. desquatre nombres a, b, c, d.

Cela posé, si l’on opère sur r, r', r" et d comme on a opérésur a, b, c, d, et ainsi de suite, on découvrira facilement lep . g . c . d. demandé.

Ex. : En appliquant celte méthode aux quatre nombres45o, i35, 108, 36, il vient

18,

27,

0, 36,

18,

9>

0, 0;

donc 9 est le p . g . c . d . cherché.

IV

Le plus petit commun multiple de deux nombres est égalà leur produit divisé par leur p . g . c. d.

Nous savons que les quotients obtenus en divisant deux nom-bres par leur p . g . c. d. sont premiers entre eux ; nous savonsaussi qu’un nombre qui divise le produit de deux facteurs etqui est premier avec l’un d’eux divise l’autre facteur.

Cela posé, soient a et b deux nombres, d leur p .g. c. d.,q et q 1 les quotients respectifs de a et 6 par d, nous avons

a = d.q et b = d.q

or les multiples de a sont de la forme aq /f ou dqq 11 , q !/ étantun nombre entier, et le produit dqq" représentera en même

temps les multiples de b, si l’on exprime que est un

nombre entier. Pour cela nous dirons : pour que

dqq"

~T

ou

dqq 11

liif