EXERCICES ET PROBLÈMES DIVERS. 171

divisions successives ou celui de leurs restes est moindre queles dix tiers du nombre des chiffres du plus petit des deuxnombres dont on cherche le p. g. c.d.

Existe-t-il une limite moins élevée que celle-là?...

VI

Conditions nécessaires et suffisantes pour qu’on puisse in-scrire dans un cercle donné un polygone régulier de n côtés,par les théories de la géométrie élémentaire.

On sait inscrire théoriquement dans un cercle donné les .polygones réguliers de 3, 4> 5, i5 côtés, et par suite ceux dontle nombre des côtés se trouve être représenté par l’un des pro-duits suivants :

3.2,

3.2 2 ,

3.2 3 , ...

2 2 .2^

2 2 . 2%

2 S . 2 3 , ...

. . 2-,

5.2,

5.2%

5.2 3 , ...

3.5.2,

3.5.2*,

3.5. 2 3 , . . .

.. 3.5.2";

par exemple on peut inscrire, en partant du pentadécagone,un polygone régulier de 240 côtés, attendu que 240 = 3.5.2*.

En général, quand un nombre décomposé en facteurs pre-miers n’en admet pas d’autres que 2, 3, 5; 2 à une puissancequelconque, et les suivants à la première, on peut inscrire dansun cercle donné un polygone régulier ayant ce nombre decôtés.

VII

(nui) 2 = 123454 32i ; c’est ce qui résulte du tableau sui-vant :

11 iii11111

nui

uni

I U 11

1 u 11iiiii

123454321