EXERCICES ET PROBLÈMES DIVERS.

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or

480000_4800_48.

720000 7200 72 ’

4.80000 —j- 4800 + 48 48 2720000 + 7200 + 72 72 3 ’

donc

autrement:

484848 _ 4.8 _ 2

727272 72 3

484848 48(10000+ 100+ i) 48 2

727272 72(10000+ 100+1) 72 3

IX

Un carré parfait étant de la forme a- m . b~ n . c 2 ?; a, b, c, étantdes nombres premiers affectés d’exposants pairs; on voit quel’on peut trouver la racine carrée d’un tel nombre en le dé-composant dans ses facteurs premiers et en dédoublant lesexposants de ces facteurs; ce qui donne a m . b n . et.

On voit de même qu’un cube parfait N = a' m . 6 3n . c 3 », d’où

a™. b n . ct.

iV. B. — Un produit de la forme (2m+ 1) (2 n + 1) (2 p + 1)exprimant le nombre des diviseurs d’un carré parfait, toutcarré parfait a un nombre impair de diviseurs, attendu que leproduit de plusieurs nombres impairs est impair.

On arrive à la même conclusion en prouvant qu’un nombrecarré parfait a autant (*) de diviseurs plus grands que sa racineque de diviseurs plus petits ; ce qui fait un nombre pair de di-viseurs sans compter la racine; c’est-à-dire un nombre impairde diviseurs.

{') Soient R la racine carrée de N et d> R un diviseur de N, on a :

N = d.q ou R.R. = d.q,

d’où l’on conclut que N a un diviseur ç<R.

N. B. — Il résulte de là qu’un nombre est premier quand il n’a pas dediviseurs plus petits que sa racine.