EXERCICES ET PROBLÈMES DIVERS. 179

on conclut que le dénominateur i n . 5 n est multiple du dénomi-nateur 2 m . 7, donc cette égalité est impossible,

N. B ■—Nous avons déjà dit un mot des quotients périodiqueset nous n’y reviendrons pas.

XIII

Les puissances successives d’un nombre a > i sont de plusen plus grandes.

En effet, de a > i, on conclut

a 3 > a, a i > a 2 , ..., a n > a n_1 _

Ces mêmes puissances croissent au-delà de toute limite.

En effet, soit

(1)

II

I

©

d’où

(2)

a-—a > b,

( 3 )

a 3 — a 2 > b,

(«)

a n — a n_1 > b ;

il vient en ajoutant membre à membre (i), (2), ( 3 ), ..., (n),après toutes réductions,

a n > 1 + nb,

c’est-à-dire a n plus grand que toute quantité donnée, n et parsuite nb pouvant croître au-delà de toute limite.

N. B. — On s’appuie sur ce théorème dans l’étude des pro-gressions par quotient, pour conclure que la somme des ter-mes croît avec n, au-delà de toute limite, quand la raison estplus grande que l’unité : c’est ce que l’on voit par la formulec ) _ aq n — aq—i'

XIV

Les puissances successives d’un nombre a < 1 sont de plusen plus petites.

En effet, de a < 1, on conclut

a 2 <a, a 3 <a 2 , —, a n < a n ~ l ,.. •

Ces mêmes puissances décroissent en-deçà de toute limite.